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1、正定（半正定）二次型的判定及其应用摘耍：在二次樂中•正定二次型占有特殊的地位，本文主要探讨了常见的正定二次型以及正定二次型的判定.重点讨论了正定二次型与行列式的联系，在函数最值问題中的应丿IJ。利用半正定二次型的性质，证明相关不等式，降低了证明的难度，简单易懺关键字：二次型正定二次型半正定二次型相关应用目录引言1一.正定二次型I1.1定义112常见正定二次型1二.正定二次型的判定2三.正定二次型的应用43」在函数极值问题中的应用43.2正定二次型在线性最小二乘法问题中斛中的应用63.3利用半正定二次型
2、的性质证明不等式6参考文献：8弓I言：设P是一个数域，GP■H个文字的二次齐次多项式f(Xi,X2,--,Xn)=°11兀：+2°]2尤1兀2+2°13尤1兀3+・・・+2°5兀1兀〃•+2a2„X2Xn1=1>1称为数域P上的一个〃元二次型，简称二次型.当0“为实数时，称于为实二次型.当Q“为复数时，称为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即f(xrx2^-.xn)=dlxf++〃2球+•••+〃/：称f为标准型.一、正定二次型1.1定义：实二次型）称为正定二次型，如果对于任意一组不全为零的实
3、数C[,C2，・・・，C”，都有/（5，巾，・・・，5）＞012常见正定二次型1.2.1二次型/（册，2,…九）=彳+£+・・・+尤是正定的，因为只有在C]=C2=---=Cn=0时,C
4、+£+•••+£才为1・2・2实二次型/（“宀，・・・內）=心彳+妁卅+…+^nXn是正定的，当且仅当/•>0J=1,2,…/1.2.3设实二次型nn兀2，・・・，兀斤）=工工旬兀j兀广切Fji⑴f=l>1是正定的，经过•非退化实线性替换变成二次型X-CY（2）nng（）”）s…，儿）=》》>“•）“八站=bji・（
5、3）j=17=1我们折出•关于”，）丿2，・・・，儿？的二次型£（）”『2，・・・，）0）也是iE定的•或者说•对于任童一组不全为零的实数人，煜,…,红.都有g伙1，他，…，心）〉0・证明：爭实上，令”=k^y2=k2,-^yn=kn，代入⑵的右端，就得到x1,x2,-^xn对应的一组值.设其为cn./、5◎c2•••=ck2■■■&齐)&丿因为「可逆，就有幽丿所以当&卡2、…、灯是一组不全为零的实数时，则C[,C2,…也是一组不全为零的实数•显然g伙1我2,…北“)=/(C[,C2,…,C』＞0・二
6、.正定二次型的判定定理6：/?元实二次型/（“，巾，…，1）是正定的充分且必要炙件是它的正惯性指数筹于介证设二次型/（“，勺，…，心）经过非退化实线性秤换变成标准形d
7、）f+〃2衣+…+d“y：•⑷上面的讨论表明.…，兀J正定，当且仅当⑷是正定的，而二次型⑷是正定的，当且仅当心〉0丿=1,2,…屮•即正惯性指数为n定理5・4・1说明，正定二次型/（兀1宀，…內）的规范形为）『+〉*+•••+£・定义实对称矩阵川称为正定的，若二次型XJ4X正定.因为二次型（5）的矩阵是单位矩阵/”，所以一个实对称矩阵是
8、正定的，当且仅当它与单位矩阵合同引入：子式a\%2%3…aua2la22a23…a2kP严a3••a32••a33•■…a■■3k••(21,2,3,4•ak•ak2•a■…a•kkn),称为A=（Gy）的顺序主子式.定理7实二次型nn/（兀"2,…宀）=工工偷兀勺=X久X是正定的充分且必要条件为矩阵才的顺序主子式全大于零.证必耍性设二次型是正定的.对于每个k,令人…，小）=工2＞沪沦厂/=!；=1则对于任童一组不全为零的实数c},c2,-^ck.有kk人（5心,…心）=工工切C心=/（C］，・
9、・・，qS・・,O）〉O・/=!；=1因此力（"，兀2,…，“）是正定的・由推论5・4・1,人的矩阵的行列式k、故矩阵彳的顺序主子式全大于零.充分性对刀作数学归纳法.当"1时，f（x］）=a}lx^.由条件⑷］＞0.显然有/（兀
10、）是正定的.假设充分性的论断对于元二次型已经成立，那么对"元惜形.令(/£=5•••…％一
11、■■■,a=■■■宀-1,1…％1心丿&"-1山)则矩阵彳分块为A{是正宦矩阵，即有阶可逆矩阵g使Mi由彳的顺序主子式全大于零知道A的顺序主子式也全大于零•因此.由归納假定.JRG'
12、AG=En_{0)1丿c仏g=(G0、,沪&mt~clGGct.则仃两边取行列式，得IC
13、2
14、AI=g・山于A>Q9因此&>0・显然4a这就是说.矩阵M与单位矩阵合同.所以彳是正定矩阵.故二次型/（兀］,兀2，・・・，乙）正定・例1判别二次型于（“，兀2山3）=5坊+兀孑+5
