论文正定矩阵

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1、长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练正定矩阵系部）：信息与计算科学专业：数学与应用数学学号：2009031119学生姓名：陈娟成绩：2012年6月正定矩阵陈娟长沙学院信息与计算科学系，湖南长沙,410022摘要：炬阵是数学屮一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，同时炬阵论乂是研究线性代数的一个有力工具，而正定矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究•对伴随矩阵性质作进一步的讨论，给出相关的命题和证明，并利用这些性质对相关问题做出快速简便.关键词：正定矩阵，伴随矩阵，Murkowski不等式

2、1引言文献［1］作者根据正定炬阵的定义，给出其重要的几条等价定义及理论证明•同时，给出正定矩阵的若干性质.文献［2］作者根据矩阵A的伴随矩阵A*作为一类重要矩阵，无论在矩阵的理论方而，述是在矩阵的实际应用方而都有很重要的研究意义.同时对伴随矩阵的性质作进一步的讨论，给出相关的命题和证明.文献［3］作者根据为了丰富矩阵的理论，文中对正定矩阵的Markowski不等式改作了改进.2正定矩阵的概念及性质定义倬］设m是〃阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量，M都有X!MX>0,就称M正定•所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米矩阵)也是正

3、定矩阵.性质2凶若A,B均为正定矩阵，贝忖〉0力>0,时，aA+处为正定矩阵.证明：由A,B均为正定矩阵可知(6ZA+/?B)'=aA'+hB'=aA+bB,所以aA+hB为实对称矩阵，乂因为对任意的QH°,"Aa>°,“Bq〉0则G‘(aA+bBk>0故°A+bB为正定矩阵.性质3也设A为正定矩阵，。>0,贝UaA,AA"均为正定矩.证明：a_1=£/、a*=

4、a

5、a-1,

6、a

7、>o,只须证明A正定，由于A为对称矩阵.因为(A-,)，=(a9_，=A-1,所以A"为实对称阵.而A为正定矩阵，故A的特征值都大于零.且A-的特

8、征值为A的特征值的倒数，即A的特征值均大于零，故A*=

9、A

10、A'1的特征值均大于零.故qA,A*,A-均为正定矩阵.性质4以设A是实对称阵，则存在a,b,c>0使得°E+A,E+bA,cE-A均为正定矩阵.证明：从特征值的角度人手°E+A,E+bA,cE-A的特征值分別为g+兄，1+/U,c-Z,只需让其都大于零即可，而这样的2是存在的，2为A的特征值.性质5闵正定矩阵A=(A,)+元素绝对值最大的一个出现在对角线上，aif>0.证明：A的二阶主子式呦〉0当&丿•时取等号.ajiajjiJ时,a(j

11、的岀现在对角线上，否则

12、呦

13、最大，(iHj)则ay2<勺旳矛盾.3伴随矩阵的性质及应用研究定义何设A“是矩阵A二alla21■■■⑷2a22•••a・L/n%A】】A〕？…AlnA*=A21A??••••••…a2w•••A”】A”？…Ann称为A的伴随炬阵.%血”中元索切的代数余子式，矩阵定理2国矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化,且A-二推论3国AA*=A*A=

14、A

15、I,I为/7阶单位矩阵.命题4国设A为斤阶矩阵，则A*=

16、A

17、n_，.乃,当厂（A）二nH'J'命题5卩】设A为〃阶炬阵，贝＞Jr（A*）=1,当厂（A）»・

18、l时・0,当r（A）»・2时命题6卩】设A为〃阶矩阵，则（A*）*=

19、A

20、n_2A・证明：由于

21、A*

22、=

23、A厂，可分情况讨论⑴当r（A）=n时，

24、a

25、h0,则A可逆•又由于AA*=

26、A

27、l,对该式两边同时左乘A-',可得A"=

28、A

29、A-1,将上式中A换为A*,则有（小=卜也丁=

30、矿（匍=

31、矿入（2）当r（A）＜/t-l时，则厂（A*）S1,

32、A

33、=0,WiJr（A*）*=0,（A*）*=0=

34、A

35、，，-lA.综合⑴、（2）,即证（A*）*=0=

36、A

37、n_2A・命题7国若为斤阶可逆矩阵，则（A'1）*=（A*）_1.证明：（JI

38、A）-1=

39、a-j,再对A'1=-^A*两边取逆可得A=

40、A

41、（A*）_，,所以又A-1中用A"换A得(A-1)-'(a-1)*=

42、a

43、(a*)_,,所以综上可得(A」)*=(A・)“・命题8凶设A,B均为斤阶方阵，(ABy=B*A*・证明:1)当

44、AB

45、h0时,这时

46、A

47、=0,冋工0,由公式A*=

48、A

49、A_1,可得:(ab)*=

50、ab

51、(ab)_,=

52、a

53、

54、b

55、b-,a-1=

56、b

57、b-,

58、a

59、a_1=b*a*,结论成立.4正定矩阵的Murkowski不等式的改进定理1⑷设A,BwH：,6/>0,/7>0,

60、A

61、>P/Ij,

62、

63、B

64、>

65、mJ,则存在一组正实数满足“]“2…使得

66、A+B卜(d+b)"E>n"+-(a+b)n"_r丿_>(

67、A

68、-art)n+0B卜方")：・推论2⑷设A,BwH：,a>09b>09

69、A

70、>

71、aIw

72、,

73、B

74、>

75、Mw

76、，则存在一组正实数“]，…“”，满足“]“2…“”=1，