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1、正定（半正定）二次型的判定及其应用摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文主要探讨了常见的正定二次型以及正定二次型的判定。重点讨论了正定二次型与行列式的联系，在函数最值问题中的应用。利用半正定二次型的性质，证明相关不等式，降低了证明的难度，简单易懂。关键字：二次型正定二次型半正定二次型相关应用目录引言1一、正定二次型11．1定义11.2.常见正定二次型1二、正定二次型的判定2三、正定二次型的应用43.1在函数极值问题中的应用43.2正定二次型在线性最小二乘法问题中解中的应用63.3利用半正定二次型的性质证明不等式6参考文献：8引言：设是一个数域,,个文字
2、的二次齐次多项式称为数域上的一个元二次型,简称二次型.当为实数时,称为实二次型.当为复数时,称为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项,即称为标准型.一、正定二次型1．1定义：实二次型称为正定二次型，如果对于任意一组不全为零的实数，都有1.2.常见正定二次型1.2.1二次型是正定的，因为只有在=0时，才为零。-7-1.2.2实二次型是正定的，当且仅当1.2.3设实二次型(1)是正定的，经过非退化实线性替换变成二次型X=CY(2)．(3)我们指出，关于的二次型也是正定的，或者说，对于任意一组不全为零的实数，都有．证明：事实上，令，代入(2)的右端，就得到对应的一
3、组值，设其为，则．因为C可逆，就有．所以当是一组不全为零的实数时，则也是一组不全为零的实数．显然．二、正定二次型的判定定理6：n元实二次型是正定的充分且必要条件是它的正惯性指数等于n．证设二次型经过非退化实线性替换变成标准形．(4)上面的讨论表明，正定，当且仅当(4)是正定的，而二次型(4)是正定的，当且仅当，即正惯性指数为n．定理5.4.1说明，正定二次型的规范形为．定义实对称矩阵A称为正定的，若二次型正定．因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵，所以一个实对称矩阵是正定的，当且仅当它与单位矩阵合同引入：子式,-7-称为的顺序主子式.定理7实二次型是正定的充分且必要
4、条件为矩阵A的顺序主子式全大于零．证必要性设二次型是正定的．对于每个k，1£k£n，令，则对于任意一组不全为零的实数，有．因此是正定的．由推论5.4.1，的矩阵的行列式．故矩阵A的顺序主子式全大于零．充分性对n作数学归纳法．当n=1时，，由条件，显然有是正定的．假设充分性的论断对于n-1元二次型已经成立，那么对n元情形，令，则矩阵A分块为．由A的顺序主子式全大于零知道的顺序主子式也全大于零．因此，由归纳假定，是正定矩阵，即有n-1阶可逆矩阵G,使．取，则．再取，-7-则令C=C1C2，a=ann-a¢GG¢a．则有两边取行列式，得．由于
5、A
6、>0，因此a>0．显
7、然这就是说，矩阵A与单位矩阵合同．所以A是正定矩阵，故二次型正定．例1判别二次型是否正定．解的矩阵为，它的顺序主子式，，，所以，正定．三、正定二次型的应用3.1在函数极值问题中的应用定理设n元实函数在点P0的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数在点P0近旁有性质：1）若正定，则P0为极小点；2）若负定，则P0为极大点；3）若-7-不定，则P0非极大点或极小点；4）其余情形时，在点P0性质有待研究余项R的性质来确定。特别当是二次函数时，R=0，只要半正（负）定，则P0为极小（大）点例2：求函数的极值解：解方程组，易得，，于是，，经计算得正定；负定；不定
8、。故在点，点，Z不取极值；在点，Z取极小值，；在点，Z取极大值，。例3已知实数满足,求的最大值和最小值.-7-解的矩阵为.,因此,特征值.于是,由定理可知,在下的最大值为,最小值为.3.2正定二次型在线性最小二乘法问题中解中的应用众所周知，线性方程组可能无解。即任何一组都可能使得不等于0，我们设法找到，使得最小，这样称为方程组的最小二乘解。这种问题就叫最小二乘法问题。若记A为上述方程组的系数矩阵，。于是，使得值最小的X一定是方程组的解，而其系数矩阵是一个正定矩阵，它的惯性指数等于n，因此这个线性方程组总是有解的，这个解就是最小二乘解。3.3利用半正定二次型的性质
9、证明不等式其证明思路是:首先构造二次型,然后利用二次型半正定性的定义或等价条件,判断该二次型（矩阵）为半正定,从而得到不等式.例3（不等式）设为任意实数,则-7-.证明记因为对于任意,都有,故关于的二次型是半正定的.因而定理1知,该二次型矩阵的行列式大于或等于0,即.故得.例4证明证明记,其中将矩阵的第2,3,…,列分别加到第一列,再将第2,3,…,行减去第1行,得～,于是的特征值为0,由定理可知,为半正定矩阵,即二次型是半正定的,从而得,即结论得证.-7-例5设是一个三角形的三个内角,证明对任意实数,都有.证明记，其中对做初等行变换得:～,于是的特征值为0,1
10、,,从而得二次型是半正定
