【精品】数学归纳法论文

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1、2010-2011年度论文数学归纳法在恒等式中的应用系别：数学系姓名：马炜学号：0901070101071数学归纳法在恒等式中的应用指导教师陈信专业数学与应用数学班级09数本2论文提交日期2011.5.24摘要1•数学归纳法的定义概述21.1常用数学证明方法21.2数学归纳法的定义31.数学归纳法的步骤42.易错分析3.1弄不清n=k^=k+时的式子变化3.2运用数学归纳法时忽略了n=k时的假设条件53.运用数学归纳法的典型例题54.中学数学中关于数学归纳法的用途6参考文献数学归纳法在恒等式中的应用【摘要】数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习

2、有着很大的帮助，而且在高等数学的学习及研究小也是一种重要的方法。数学归纳法在恒等式的证明屮有着其非常巧妙的一面，尤其是在证明与自然数有关的命题时更是有其独特之处•要熟练的应川数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤,而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。最后我们在通过用数学归纳法证明简单恒等式的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想证明”这一探索发现的思维方法。【关键词】归纳法猜想恒等式证明方法1数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的

3、。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。已知最早的使用数学归纳法的证明出现于FrancescoMaurolico的Arithmeticorumlibriduo（1575年）。Maurolico证明了前n个奇数的总和是n?。最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下而两步组成:递推的基础：证明当n二1时表达式成立。递推的依据：证明如果当n二m时成立，那么当n二m+1时同样成立。（递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。不要把整个第二步称为归纳假设。）这个方法的原理在

4、于第一步证明起始值在表达式屮是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程屮。1数学归纳法的概述1.1常用数学证明方法数学是-门非常注重学习方法的学科，而数学恒等式的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，常用的数学方法大致有以下几种：1.1.1演绎推理一一从一般到特殊的推理叫做演绎推理，它又称演绎法。1.1.2归纳推理一一由特殊到一般的推理叫做归纳推理，它又称归纳法。归纳推理分为完全归纳法不完全归纳法两种。1.1.3不完全归纳法一一根据某类事物小一些事物具有某种属性，推岀该类事物全体都有这种属性的

5、归纳推理，叫做不完全归纳法。1.1.4完全归纳法——在研究了事物的所有（有限）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。（完全归纳法得岀的结论是可靠的）。1.1.5数学归纳法一一数学归纳法是证明与自然数n相关命题的一种方法。1.2数学归纳法的定义数学归纳法概念：数学归纳法是一种先得出首个例子的正确性，而后通过递推的方式证明命题是否正确的一种方法.常用来证明与自然数n有关的相关命题2数学归纳法的步骤数学归纳法步骤严谨，如果把要证明的命题记作P(n),那么数学归纳法的步骤为:(1)证明当n取对命题适用的第一个自然数nl时,p(nl)正确。⑵假设n二k(RwAT且k大于等于

6、零)时，命题成立，即p(k)正确.证明当n=k+l时命题成立。⑶根据(1)、(2)当k大于等于零且kwM时，即p(n)正确。运用数学归纳法证题时，以上三个步骤缺一不可，步骤仃)吋正确的奠基步骤，称之为归纳基础，步骤(2)反应了无限递推关系，即命题的正确性具有传递性，若只有步骤(1),而无步骤(2),只是证明了命题在特殊情况下的正确性是不完全归纳法，若只有步骤(2),而没有步骤1,那么假设n=k成立，就吋没有根据的，缺少递推的基础，也无法进行递推，有了步骤(1)和步骤(2)使递推成为了可能，步骤(3)是将步骤(1)步骤(2)结合完成数学归纳法屮递推的全过程，因此三个步骤缺一不

7、可。3易错分析刚刚接触数学归纳法吋容易出现对步骤把握不清的现象，下面针对几种常见错误进行分析3・1弄不清斤*到n=k^时的式子变化例1用数学归纳法证明：(〃+l)S+2)・・・(n+n)=2"・1・3…⑵2-1),从”到“k+1”左端需增乘的代数式为:A・2(2k+l)B.2(k+l)2k+1k+1错误解法：n=kHi,式子左端为伙+1)伙+2)…伙+Q二伙+1)伙+2)伙+3)…2k,”二力+1吋，式子左端为伙+1)伙+2)…伙+1+R+1)故选B。分析:n=k+吋，左端第一个因式也有所变化，不能简单地看后面的