数学归纳法及其应用 论文

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1、自学考试本科毕业论文论文题目：数学归纳法及其运用二号黑体加粗学校名称：桂林师范高等专科学校小二宋体加粗专业名称：数学教育准考证号：030114300393姓名：何东萍指导教师：李政目录内容摘要一、数学归纳法的由来（一）数学归纳法的概念（二）数学归纳法的命名（三）归纳法的证明二、数学归纳法的步骤三、数学归纳法的几种形式（一）第一数学归纳法（二）第二数学归纳法（三）倒推归纳法（四）跳跃归纳法（五）螺旋式归纳法四、数学归纳法的应用（一）数学归纳法在生物方面的应用（二）数学归纳法在初等数学方面的应用（三）数学归纳法在几何方面的应用五、数学归纳法的变体（一）从0以外的数字开始（二）针对偶

2、数与奇数（三）递归归纳法六、数学归纳法常见误区及注意（一）易错例题（二）数学归纳法需注意文献参考数学归纳法及其应用班级:数学教育2班姓名:何东萍指导老师：李政【内容摘要】小四宋体加粗本文讲述了数学归纳法的历史由来和理论原理，通过数学归纳法的基本形式的学习和理解，用相应实例进行解析说明数学归纳法在各方面的具体应用。最后总结了数学归纳法的常见误区和应用技巧，并对未来发展的场景作出了预测。在中学数学的过程中，有一种很常见并且很基本的数学方法——数学归纳法。对于数学归纳法，人们常常有这样的疑问:数学归纳法的原理是什么？数学归纳法的证明过程为什么要用这样的规定格式？数学归纳法的应用前景会

3、如何？【关键词】小四宋体加粗数学归纳法；归纳法的分类；归纳法的应用；一、数学归纳法的由来在最早的使用数学归纳法的证明出现于FrancescoMaurolico的Arithmeticorumlibriduo（1575年）。Maurolico利用递推关系证明出前n个奇数的总和是n^2，数学归纳法之谜便由此解开。（一）数学归纳法的概念数学归纳法有这么一个典型的例子：如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么第一张骨牌将倒下，其中某一个骨牌倒了，与其相邻的下一个骨牌也会倒，所以我们可以由此推断出所有的的骨牌都将要倒。也就能确定出这么一种递推关系，只要能够满足这两个条件就会导致所有骨牌全都

4、倒下，用数学的方式可以简述为:　　（1）第一块骨牌倒下；　　（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。这样，无论有多少骨牌,只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。关于数学归纳法，新教材是这样描述的:“从特殊的事例推出一般原理的推理方法叫做归纳法”。数学归纳法，是用来证明某些与自然数有关的命题的一种推理方法。其既具有演绎法的特征，又具有归纳的特征，它是一种归纳公理综合运用归纳、演绎推理的一种特殊的数学证明法。（二）数学归纳法的命名从表面上来看，数学归纳法似乎是属于归纳推理，事实上却不是。因为:数学归纳法的证明过程，可以得出它总体上是由两个部分所组成的，第一是得出P

5、（1）为真，且P（k）到P（k+1）；第二是k=1，2，3，…，由其一得出对所有自然数n，P（n）都是成立的。这两个部分完成了用有限步来证明对无限多个数值都有命题P（n）为真的结论。证明之所以成立是因为阿皮诺公理中的归纳原理。由此可见，数学归纳法是属于演绎。数学归纳法是演绎推理，这岂不是与其名称中有“归纳”二字想矛盾吗？一个方面，从证明中涉及自然数n的角度看，证明第（1）步是针对n=1进行的，这里的1是特殊的数，所以这一步是对特殊对象进行讨论的；第（2）步是以“n=k时命题成立”为出发点，以此来推导出“n=k+1时命题也成立”，k是代表从“n=k到n=k+1”的一般性递推。证明

6、中对n的讨论顺序是“先特殊，后一般”，符合“由易到难，由简到繁”的证明思路，同时也反映了人们发现规律的一般过程。另一个方面，人们经历了无数次特殊的、具体的验证性实践后，总结出正整数集合的元素具有无穷次递推的后继关系，并概括了这种规律，得出了正整数的公理。当然，实验中的“验证——发现——想象”对数学归纳法原理的产生是功不可没的，如果没有验证性的探索和归纳，就没有对后继数及其间包含递归关系的一般性认识，也就没有数学归纳法原理的产生。数学归纳法所完成的认识过程中经历了两千多年的坎坷发展，直到十九世纪才获得“数学归纳法”这一美称。（三）归纳法的证明既然数学归纳法（mathematica

7、linduction）是一种重要的数学证明方法，我们利用它证明某些命题对于一切正整数的成立。正整数是人类最早认识的数，它看似是最简单的数，但是由于其具有无限性的特征，在数学中严格地描述正整数集合并不简单。大家都知道的，正整数1，2，3，…有无穷多个，数学归纳法用两个步骤是怎么完成对于这无穷多个情况的的证明呢？如果一个数、一个数地去研究关于正整数的问题，那么解决问题是非常困难的，探究如何对正整数集合进行整体性描述。在这方面德国数学家康托尔（G.Cantor，1845-1918）和意大利数学家皮