毕业论文：数学归纳法及其应用论文

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1、数学归纳法及其应用数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的非常重要的数学方法，它不仅对我们屮学数学的学习冇着很大的帮助，而冃在进一步学习及研究高等数学时,也是一种非常重要的方法•数学归纳法在证明与正整数有关的命题时有其独特Z处.对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是掌握这种证明方法的关键.要熟练的掌握及应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中，运用归纳假设尤为关键，运用归纳假设推出结论最为重要.数学归纳法可以用來证明与正整数冇关的代数恒等式、不等式、整除性问题和儿何问题等.止整数是无穷的.一个与止整数N有关的命题，当72=1时表示一个命题

2、，当n=2时又表示一个命题，如此等等，无穷无尽.因此，一个与正整数N冇关的命题本质上包含了无穷多个命题.假如我们对于这无穷多个命题，按部就班地一个一个去证，那么不管我们的证题速度冇多快，也是今生今世都证不完的.在一个与正整数N有关的命题面前，作为万物之灵的人，发明了一种方法,叫做“数学归纳法”.人们运用此法，只需寥寥几步，像变戏法似的，便把无穷多个命题一个不剩的全证完了⑴・数学归纳法是数学论证的一个基木工具，是一种非常重要的数学证明方法，它典型地用于确定一个表达式在所有正整数范围内是成立的，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的•最简单和最常见的数学归纳法证明是证明当

3、料属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成，第一•步是递推的基础：证明当斤=1时表达式成立.第二步是递推的依据：证明如果当〃=比时成立，那么当n=k^时同样成立.（递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设.不要把整个第二步称为归纳假设•）这个方法的原理在丁第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的.如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中.1数学归纳法的概述1.1常用数学证明方法数学是一门非常注重学习方法的学科，而数学的证明更是将这些方法休现的淋漓尽致，数淫中研究问题的方法一般冇以下分类：1

4、.1.1演绎推理——从一般到特姝的推理叫做演绎推理，它又称演绎法.1.1.2归纳推理——由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳推理,它又称归纳法•根据推理过程屮考察的对象是涉及事物的一部分还是全部,归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法.不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法.但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索屮，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想.

5、因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要.完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法⑵.1.2数学归纳法的定义数学归纳法概念：数学归纳法是数学上证明与正整数N有关的命题的一•种特殊方法，它主要用來研究与止整数有关的数学问题.1.3学归纳法的逻辑基础意大利有一个数学家,名叫皮亚诺（G.Peano,1858-1932）,他总结了自然数的有关性质，并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理，后人称之为“皮亚诺公

6、理”.皮亚诺公理的内容如下：任何一个满足下列条件的非空集合N的元索叫做口然数.在这个集合屮，某些元素之间存在着一种基本关系一一“随从”关系（或者叫做“直接后继”关系）并且满足以下五条公理：I・oiN（即“0是自然数”）.II.对于N的每一个元素。，在N中都有一个确定的随从。（我们用符号a表示d的随从，以下类同）.III.0不是N中任何一个元索的随从.IV.ha=b可以推出（这就是说，N中的每个元素只能是某一个元素的随从，或者根木不是随从）.V.设M是自然数的集合，若它具有下列性质：（1）自然数0属于M;（2）如果自然数。属于M,那么它的随从/也属于M；则集合M包含一切自然数山

7、•自然数就是满足上述皮亚诺公理的集合N中的元素.关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论.由皮亚诺公理可知，0是自然数关于“后继”的起始元素,如果记0=1,1=2,2=3,…，mT+1,…，则W={0,1,2,•••”•••}皮亚诺公理与最小数原理是等价的，我们可以用皮亚诺公理来证明最小数原理.定理1(最小数原理)自然数集“的任意非空子集A都有最小数.证设M是不大于A中任何数的所有口然数的集合，即M={nfuTV且r?加，对任意加A}rtl-TA非空，至少有一自然数启A,而a+l(>a