数学归纳法及其应用

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1、数学归纳法及其应用一、知识结构图：数学归纳法含义（证与n有关的命题）步骤：递推的基础与依据。应用二、教学目标：1．理解数学归纳法的意义。2．理解不完全归纳法于数学归纳法的区别与联系。3．掌握数学归纳法证明命题的一般步骤。4．养成严格推理的良好习惯。三、教学重点与难点：重点：数学归纳法证明命题的一般步骤。难点：数学归纳法证明命题的第二个步骤。四、教学过程：（一）、归纳法与演绎法：由一般到特殊的推理，称之演绎推理，又称演绎法；反之，由特殊到一般的推理，称之归纳推理，又称归纳法．归纳推理有两种常见的形式：完全

2、归纳法和不完全归纳法．其中研究了某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物的一般性结论的，称之完全归纳法；通过对某类事物中的部分对象的研究，概括出关于该类事物的一般性结论的，称之不完全归纳法．应用不完全归纳法得出的一般性结论，未必正确，应用完全归纳法推出的一般性结论，则必定正确．不完全归纳法的可靠性虽不是很大，但它在科学研究中有着重要作用，许多数学猜想（如哥德巴赫猜想）都来源于不完全归纳法．“归纳——猜想——证明”这是人们发现新的结论的重要途径．数学中有许多与自然数有关的命题，我们已经知道，用不完全归纳

3、法证明是不可靠的．但如果改用完全归纳法，则又是不可能的．因为自然数有无限多个，我们不可能对所有的自然数都一一加以验证，为解决这一“有限”与“无限”的矛盾，数学归纳法应运而生．13（二）、数学归纳法：皮阿諾把每一個自然數的下一個稱為這數的「後繼者」(successor)，用後繼者的說法，這組皮阿諾公設可以寫成下面的形式（括弧裡是用符號的寫法，其中n+表示自然數n的後繼者）:（1）1是自然數()（2）每一個自然數有一個自然數作他的後繼者()（3）1不是一個後繼者()（4）不同數不可能有相同的後繼者()（5）

4、設S是N的子集，若1是S的元素，且S中的每一個元素的後繼者也是S的元素，則S就是N(,且，則S=N)上面的第五個公設，也就是「數學歸納法原理」，為了加強對這原理的認識，我們將此一原理重寫成為下列的形式：數學歸納法原理：設，若S有下列兩性質：（1）（2）則S=N當我們使用數學歸納法來證明一些對所有自然數都成立的敘述時，我們常用下列方式，我們用P(n)來表示這個敘述，我們證明(1)P(1)成立(2)由P(n)成立可以推得P(n+1)成立。数学归纳法是数学证明的一种重要工具，它常用来证明与自然数有关的命题．它

5、基于自然数的一个重要性质：任意一个自然数的集合，如果包含数1，并且假设包含数k，也一定包含k的后继数k＋1，那么这个集合包含所有的自然数．这一重要性质，为解决上述有限与无限的矛盾提供了理论依据．也就是说，如果能证明：(1)当n＝1时命题成立；13(2)假设当n＝k时命题成立，有n＝k＋1时命题成立．那么我们就能由n＝1时命题成立，推出n＝1＋1＝2时命题成立；由n＝2时命题成立，推出n＝2＋1＝3时命题也成立；……如此继续上去，虽然我们没有对所有的自然数一一逐个推加以验证，但根据自然数的重要性质，实质上

6、已经对所有的自然数作了验证．这样的证明方法叫做数学归纳法．可见数学归纳法是一种完全归纳法．一般说来，对于一些可以递推的与自然数有关的命题，都可以用数学归纳法来证明．数学归纳法证明的一般步骤是：(ⅰ)设P(n)是一个关于自然数n的命题，证明P(n)当n＝1（或n＝no）时成立；（递推的基础）。(ⅱ)假设P(k)(k≥no)成立，证明P(k＋1)成立．（递推的依据）那么，P(n)对任意自然数n都成立．（无限地推的过程）运用数学归纳法证题时，步骤(ⅰ)是奠基步骤，是命题论证的基础，称之归纳基础；步骤(ⅱ)是归

7、纳步骤，是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中假设P(k)成立，（注意是“假设”，而不是确认命题成立），称这归纳假设，在证明“P(k)ÞP(k＋1)”的过程中有没有运用归纳假设是数学归纳法证题的本质特征，其中在证命题P(k＋1)成立时没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法．运用数学归纳法证题时，以上两个步骤缺一不可．事实上，有(ⅰ)而无(ⅱ)，那就属于不完全归纳法，故而论断的普遍性是不可靠的；反之，有(ⅱ)无(ⅰ),则归纳假设就失去了依据，从而使归纳步骤的证明成了“无本之木，无

8、源之水”，由于证明建立在不可靠的基础之上，所以不能判断原命题的正确与否．数学归纳法有着广泛的应用，与自然数有关的恒等式或不等式的证明，数的整除问题，数列问题以及某些几何问题，都是数学归纳法的运用对象．二、数学归纳法的应用：（一）、引子：（1）你是怎样学会数数的？（2）你放过鞭炮吗？（3）多米诺骨牌的最后一张是如何倒下的？（二）、主要应用：（1）证明与自然数有关的恒等式（代数恒等式，三角衡等市）（2）证明有关的自然数不等式。13（3）证明整除