【精品】数学分析教案2

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1、SF01（数）Ch2数列极限计划课时：12时P9—202001.08・30.Ch2数列极限（12时）§1数列极限的定义（4时）一.数列:数列定义一一整标函数.数列给出方法：通项，递推公式.数列的儿何意义.特殊数列：常驻列，有界列，单调列和往后单调列.二数列极限：以色=1+匕竺为例.n定义（limo”二g的“_N”定义）定义（数列｛%｝收敛的N”定义）£的正值性，任意性与确定性，£以小为贵；N的存在性与非唯一性，对N只要求存在，不在乎大小.limo”=a的几何意义./1-KO三.用定义验证数列极限：

2、思路与方法.例1lim—=n->oo,20.例2limq"=P】T8=0,q<1例31.2/7lim—7n*3矿2-川+3-42n+1_2■3例4r"2lim—:?

3、->OC4"=0.证4“=(1+3)"=1+/1・3+皿一1)・32+心一1)5一习寸+・・.+3">2!3!、n(n-l)(n-2)卫、々>3,n>3.3!77注意到对任何正整数R,n>2k时有n-k>—,就有2c斤26/126nn>46n-424110<——<=<7=<—•N=max{4,4"27«（/?-l）（n-2）27（〃一

4、1）（〃一2）27-n227nn于是，对0g>O,例5limV^=1,a>I.证法一令[a.-=arl,有an>0.用Bernoulli不等式，有-d—1CIa=（1+%）">1+nan=1+n（an一1）,或0va"—15<—••••nn证法二（用均值不等式）C”厂1I—i—7..a+n-1[a-1a000证n>2时，0<蘇一=輛長1”一2_£麻i_2_=2麻_2nnQn例7设hman=a.川一>8证明

5、limA”川TOOEx[1]P342.四・收敛的否定:定义（liman工a的“w-N”定义）.n—>co定义（数列仏｝发散的“£_N”定义）.例8验证HT8n五.数列极限的记註：1.满足条件“%,?mN,Vw〉0,〃〉N=>xn-a

6、:>0,BN,V/i>N,an-a0）D2:对VO<£vc,…D3:任有理数£>（）,•••D4:对任止整数加，BN,

7、an-av-Um六.无穷小数列：定义.Th（数列极限与无穷小数列的关系）.Ex[1]P353,5,7,8（2）.§2收敛数列的性质-・收敛数列的性质：1.极限唯一性：（证）2.收敛数列有界性——收敛的必要条件：（证）3.收敛数列保号性：Th1设lima“=a,limb“=b.若a>b,则3Af,aVn>TV,=>an>bn.（证）”一>8系1设liman-a,limbn=b.若3N,Vn>N时有ana0（或v0）•则

8、对VOooVn>N,an>r（或d”r.n—>oo绝对值收敛性见后.1.迫敛性（双逼原理）:Th2（双逼原理）.（证）5・绝对值收敛性:Th3（注意反之不确）.（证）lima“=6Z,=>limlan=aman=0,olimlan=0.“TSn—>00系设数列｛a」和｛仇｝收敛，贝ijlimmax{an,bn}=max{hmaH,hmbn},>8W->00limmin{an,

9、bn}=min{lim^z/,hmbn}.n—>co>co“too（证明用到以下6所述极限的运算性质）.6.四则运算性质：Th4（四则运算性质，其中包括常数因子对提到极限号外）.（证）7.子列收敛性：子列概念.Th5（数列收敛充要条件）｛©｝收敛O｛%｝的任何子列收敛于同一极限.Th6（数列收敛充要条件）｛%｝收敛O子列｛勺门｝和｛吆｝收敛于同一极限•Th7（数列收敛充要条件）｛an］收敛O子列｛%_】｝、｛如｝和｛%｝都收敛•（简证）一.利用数列极限性质求极限:两个基本极限：lim-=O,lim

10、g"=0,（n—>00力>oo1.利用四则运算性质求极限：g

11、vi).q■1.3^+1h+10例1lim.“too1_2n2/i+5註：关于n的有理分式当77T00吋的极限情况例2填空：⑴lim(n2^)6(2n-l)E(血2+])】()limZ?—>8an—3n~—2d?2a2nk+an2-3n+7a‘例3limVw(7h+1-4n).例4lim心°°an+12・双逼基本技法:aH1.大小项双逼法,参阅［41P53.例5求下列极限:lim(V3-1)sin(2n2+1);"TO