【精品】数学分析报告

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1、数学分析学习报告6/29/2008吉林大学数学学院2006级信息与计算科学专业数学是各门科学的基础，而数学分析是数学屮最重要的基础课程•该总结报告含四部分内容:基本思想、基本内容、基本方法、基本应用•在基本内容里简要叙述了数学分析有关概念的定义及性质，而把一些重要定理放在了第三部分基本方法里陈述，目的在于直接应用定理解决相关问题.1基本思想数学分析的基本思想就是极限思想.极限的应用贯穿了微积分学的始终，从函数连续性到微分、积分，以及级数（数项级数与函数项级数），其最原始的定义大都是以极限的形式给岀，很多定理的证明几乎都直接或间接与极

2、限有关.2基本内容2.1极限2.1.1数列极限设｛£｝为一个数列，A为一个给定实数.如果对于任意给定的正数£,都存在正整数N,使得当n>N时，就有则称数列｛£｝以A为极限，或｛£｝收敛于A.2.1.2上极限和下极限设｛£｝为一有界数列，定义呂严町“+p，x,=supx分别称｛£｝和｛乙｝为数列的下数列和上数列・｛/｝和｛d｝均存在极限，分别称其极限为数列｛£｝的下极限和上极限.2.1.1数列极限性质性质1（唯一性）若数列｛兀」收敛，则它只有一个极限。性质2（夹挤定理）设收敛数列匕｝、｛仇｝都以a为极限，数列匕｝满足：an

3、l,则存在正数M）,当n>N°时有，则数列匕｝收敛，且limcn=a。〃T8性质3(保号性)若linw“m>0(或a<0),则必存在正整数N(),使得"T8匕>O(vO),B?2N()性质4(保序性)设数列匕｝、｛bn｝满足j§"Nn>N°，其中N°是一已知正整数.如果liman-A,limb”=3,则A<»性质5(四则运算)若｛%｝、｛0｝为收敛数列,则匕+仇｝,匕-亿｝,匕也｝也都收敛，且有lima±bn)=a±b=liman±limbnXT8"T8〃T8m(an-bn)=a・b=lima”・lim仇斤一＞8

4、"T8斤T8且有若再做假设仇H0及lim仇工0,则数列乞也收敛,〃T8bblim®”T8硕"T82.1.1函数极限设函数/(兀)在点兀的空心邻域中有定义，AwR・如果对任意给定的£>0,都存在J>0,使得

5、y(x)-A

6、<£*,Vx:00,都存在/>0,使得

7、/(x)-A

8、<£,VX:x0-J

9、)=limf(x)=AXTXo类似的,可以定义右极限/(xo+O),亦即li°/(劝XTX°2.1.6函数极限性质性质I(唯一性)若极限lim/(x)存在，则此极限是唯一的；性质2(绝对值极限)若limf(x)=A,则limf(x)=A；x0x->x01性质3(局部有界性)若极限lim/(无)存在，则于任)在兀的某一空心邻域中XTX0有界；性质4(保序性)设limf(x)=a,hmg(x)=bX—XqX—Xq若d>方则存在兀0的一个空心邻域，使在此邻域中有/(X)>g(X)o若存在兀0的一个空心邻域，使在此邻域中有f(x)>

10、g(x),则心方。性质5(正性)设limf(x)=a,d〉0,则在X。的某个空心邻域中有XTX()fM>0；性质6(四则运算)设Hmf(x)=aflimg(x)=b,贝gx-»x0x->x0a.lim［/(x)±g(x)］=limf(x)±limg(x)XT,®XT看)XT曲b.lim(/(Q・gO))=lim/(无)・limg(x)X—»AqX—>叼兀Tpf(xHmf(x)c.又若limg(x)HO,贝

11、」1曲上口=xt旳xtxog(x)limg(x)XT心2.2函数连续性2.2.1定义设函数/(兀)在点勺某个邻域内有定义.如果

12、lim/(兀)=/(兀°),则称/(x)在点x0是连续的；如果lim/(劝=/(%0)•f0则称/(兀)在点兀。是左连续的；如果lim/(jc)=/(x0),则称/(X)在点X。是右连续的.2.2.2闭区间上连续函数性质冇界性定理设/(兀)为闭区间⑺小］上的连续函数.则/(兀)在［a,列上有界.最值定理设/(x)为闭区间［a,b］±的连续函数•则/(x)在［a,b］上取得最大值和最小值.介值定理设/(兀)为闭区间［d,切上的连续函数，〃为介于/(d)和/(历之间的任何一个常数，则存在兵(a,b),使得〃一致连续性设/(兀)为定义在区

13、间/上的函数。若对任给的£>0,存在一个5=&£)>0,使得对任何I,只要

14、“―/

15、<》，就有

16、/(#)-/(/)

17、v£,则称函数/(x)在区间/上一致连续。闭区间上的连续函数必然一致连续.2.3导数与微分23.1导数定义设函数/(X