[精品]数学分析

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1、常数项级数判别法简介内容概要与重点提示：无穷级数是高等数学的基本内容之一，它包含常数项级数与函数项级数。常数项级数与数列Z间冇着一一对应的关系，也就是说，每个常数项级数都对应着一个数列（指其部分和数列）；反之，毎一个数列都对应着一个常数项级数。常数项级数侧重于收敛性的判定，因此，在复习时特别要抓住哪类级数应如何判定其敛散性，这部分内容在常数项级数中所占分量最大。常数项级数的概念及其性质：一、级数的概念1*定义：已知数列{«“}“=绚,弘2'则绚+“2%+…叫做（常数项）无穷级数,简称常数项级数，记作$

2、>〃，即$>”严+弘2+…+/+•••—①n=ln=l2.级数的收敛与发散：作级数①的前n项和：ASn=U{+%2+•••+%”即有S

3、―II

4、s2=U]+m2,sn=U{+u2+•••%•••{sn}——部分和数列。00定义：对于{片}若lims“=s,则称级数收敛。s称为这个级数的和；若lims“n->oo”一>8n=l00不存在，则称级数£知发散，称这个级数没有和。n=l即常数项级数收敛（发散）Olims”存在（不存在）"TOO00当》知收敛时，n=l8余项r“=s—Sn=冷+]+知+2+•••

5、=》"“+「i=l即s;«5误差为kJ(limrn-0)川一>0000例1讨论等比数列工"+“+（aHO）的敛散性。71=0rHl0（1-厂“）lim兀7?T81-r解：*/Sn=

6、=（V2-Vi）+（V3-V2）+（V4-V3）+•…+（V^7T-V^）.••级数£（j"+l-徧）发散n=l练习:判断l+2+3・・・+n+…的敛散性。例3判断丄+丄+——+

7、…的敛散性.1-22-371（/1+1）«(/7+1)nn+1111/.S=111-22-3讪+1)n+1limsfJ=lim(l)=1n—>oo“T8旳+]001例4判断yin(l+-)的敛散性.心n解：•/un=ln(l+—)=ln(n+1)-Innn:.sn=In2-In1+In3-In2+•••ln(n+l)-lnn=In(n+1)而limsft=limln(/i+1)=oon—>oo>8各/1A・•.级数£ln1+-发散.判断级数的收敛方法1：先求片，再求片的极限，然后由定义判断级数的收敛性

8、。缺陷：一般情况下片的通式难求，或者片的极限难求，所以这种方法的局限性较大。二、基本性质由级数敛散性的定义，立即得出如下性质□o000000性质1：若£血收敛k为一常数=>kun收敛,且工輒,=鸟£知71=171=171=1n=l结论：级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.00oOQ0性质2:设两收敛级数S=£冷，<7=£乙则级数£（冷±V,,）收敛其和为^±<7./?=!/?=!72=1结论：收敛级数可以逐项相加与逐项相减・。800性质3：若级数£知收敛，则也收敛。伙n1）・月.其逆亦真.川

9、=1n=k^l（类似地在级数前而添加（或去掉）冇限项不影响级数的敛散性.）001例4判断yin(l+-)的敛散性.心n解：•/un=ln(l+—)=ln(n+1)-Innn:.sn=In2-In1+In3-In2+•••ln(n+l)-lnn=In(n+1)而limsft=limln(/i+1)=oon—>oo>8各/1A・•.级数£ln1+-发散.判断级数的收敛方法1：先求片，再求片的极限，然后由定义判断级数的收敛性。缺陷：一般情况下片的通式难求，或者片的极限难求，所以这种方法的局限性较大。二、基本

10、性质由级数敛散性的定义，立即得出如下性质□o000000性质1：若£血收敛k为一常数=>kun收敛,且工輒,=鸟£知71=171=171=1n=l结论：级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.00oOQ0性质2:设两收敛级数S=£冷，<7=£乙则级数£（冷±V,,）收敛其和为^±<7./?=!/?=!72=1结论：收敛级数可以逐项相加与逐项相减・。800性质3：若级数£知收敛，则也收敛。伙n1）・月.其逆亦真.川=1n=k^l（类似地在级数前而添加（或去掉）冇限项不影响级数的敛散性.）性质4：收

11、敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.800注：(1)由性质4,£知加括号后的级数发散知发散.n=l?:=1(2)加括号后收敛的级数去括号后不一定收敛・如：1—1+1—1—发散，而级数(1—1)+(1—1)+(1—1)+…却是收敛的.00性质5：级数£知收敛的必要条件是limu”=0"Toon=lg1例5证明调和级数£丄是发散的“=]n证:（1+丄）+（丄+丄）+（丄+丄+丄+丄）+（丄+丄+•・•+丄）234567891016+・••+（丄+丄+