浅谈用向量法求解空间角和空间距离

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1、向量法求解空间角和空间距离专题在高考的立体几何试题中，求角与距离是常考查的问题，其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是教学和学习的难点.向量进入高中教材，为立体儿何增添了活力，新思想、新方法与时俱进，本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题.立体几何屮经常遇到求空间和和距离问题，这是立儿学习屮的一人难点，解决这类问题通常是作出也和垂线段，将空间问题转化为平血问题求解，但有些题1=1不易作出角和垂线段，如果应用法向量结合向量的朋标运算就能有效地解决这个难点。一、用向量法求点到平面的距离如图1,已知为平面Q的一条斜线段,A到平面。的距离区卜ac=a

2、b]ABn事实上•••cos=AB-nABn■/?7?cos=

3、/4^

4、"为平面a的法向量,ABmAB■n例1、己知正四棱柱ABCD-AlB}C]Dl.AB=JAA]=2，点E为CG中点，点F为30中点。求点卩到平面BDE的距离。巩固练习：1、已知正方体ABCD-AjBiCiDi的棱长为a,求点A到平面AiBD的距离.2、己知止方j^ABCD的边长为4,E、F分别是AB、AD的中点，GC丄平ihjABCD,且GC=2,求点B到平而EFG的跖•离.二、用向量法求异面直线间的距离若CQ是异面直线方的公垂线段，人、B分别为a、〃上的任童两点.令向童2丄丄b,.

5、；fABn-两异面直线。、“间的距离为：•其屮〃与a、b均垂直，A、〃分别为两异而直线上n的任意两点.例题：正三棱柱ABC-A.B.C.的各条棱长都是a,0、D分别是AC、AQ中点,求异面直线B山与AiB的距离。图5/)—►nA巩固练习：已知正方体ABCD—A'B'C'D'的棱长为1,求直线DA1与AC的距离.三、利用空间向量求直线和平面所成的角如图5,若直线°与平斜交于B点，P在直线Q上，PA丄°于A,“为平血&的法向量，Q与&所成角为°,71—*则sin0-sin(—-)=cos=〔.”：2网"I例.在棱长为2的正方体ABCD-A^C^«P,E、F分别是棱

6、AQ,AQ的中点.求BC、和面EFBD所成的角；巩固练习：1、正三棱柱ABC-AiBiCi的底而边长为a,侧棱长为"a,求A©与侧而ABBA所成的角.2、如图，在三棱锥P-ABC中,PA丄平面ABC,ZBAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB二AC=1,PA=2,求PA与平而DEF所成的和的正弦值.四、用空间向量求异面直线所成的角如图7,若是％是异而直线人、b在直线q上，C、D在直线b上,ABCD所成角为0,贝'Jcos0=cosABCD例4•已知:正方体ABCD—A]B]CiDi的棱长为2,M、N分别为AAPBB】的中点,求CM和DM所成角的余弦

7、值。巩固练习：1、如图，在三棱锥V-ABC+,顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A,B,V分别在x轴、y轴、z轴上,D是线段AB的中点，口AC=BC=2,ZVDC=60°时,求异面直线AC与VD所成角的余弦值.CosoeQ泗五、用空间向量求平面和平面所成的二面角如图9,二而角a_AB_0,n为平而Q的法向量，历为平而0的法向量，二而角的大小为&,例5、如图，止三棱柱ABC-A.B.C,的底血边长为3,侧棱AA=-73,D是CB延长线上一点，冃BD二BC2角B}-AD-B的大小。巩固练习:1、己知PA丄平而ABC,AC丄BC,PA二AC=1,BC二运.求二而角A-PB-C的余弦值.评

8、注：（1）川法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找—证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表而似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学牛的空间想彖能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的粘神。我们看到向量方法（更确切地讲，是川公式：a^h=a\hcosO）解决空间角和距离的作用，当然，以上所举例子，用传统方法去做，也是可行的，其至有的还较为简单，用向量法的好处在于克服传统立体儿何以纯儿何问题带来的高度的技巧性和随机性.向量法可操作性强运算过程公式化、程序化，有效地突破了立体儿何教学和学习中的难点，是解决立体几何问

9、题的車要工具.法向量作为向量家族中的一个特殊成员，在立体几何的问题解决中越來越显示出它的优越性和灵活性，充分体现出新教材新思想、新方法的优越性，这是继解析儿何后用又一次用代数的方法研究几何形体的-•块好内容，数形结合，在这里得到淋漓尽致地体现。