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《高一数学人教A版必修4学案：223向量数乘运算及其几何意义含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义【明目标、知重点】1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义2理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并常握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.填要点•记疑点1.向量数乘运算：实数久与向量。的积是一个向量,这种运算叫做向虽的数乘,记作加，其长度与方向规定如下：(1)1加1=1久
2、測・当人＞0时,与a方向相同，⑵如切的方向［当忑时，与a方向相反；特别地，当2=()或a=0时，0a=0或久0=0.2.
3、向量数乘的运算律⑴妆a)=U“)a.(2)(久(3)A(a+b)=加+/.b.特别地,有(一2)a=-(Aa)=A(-a)；A(a—b)=/M—Ab.3.共线向量定理：向量a(aHO)与〃共线，当且仅当有唯个实数久，使方=加.4.向量的线性运算：向量的如、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b,以及任意实数久、“
4、、“2,恒有z(/z1a±/M)=久“
5、吐九讪・探要点•究所然［情境导学］引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现
6、.如力与加速度的关系F=maf位移与速度的关系s=vt.这些公式都是实数与向量间的关系.师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a+a+a和(一a)+(—a)+(—a)向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：a+a+a的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同，(一a)+(—a)+(—a)的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反.师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题.探究点一向量数乘运算的物理背景思考1一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量
7、°,那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3。表示，试在直线/上画出3e向量，看看向量3。与o的关系如何？答3v=OC=OA+AB+BC=v+v+v.•••3。与e的方向相同，3v=3v.思考2已知非零向量a,作出a+a+a和(一°)+(—°)+(—4),你能说明它们与向量a之间的关系吗？答6ABCOC=OA+AB+BC=a+a+a=3a；C?A1'O%=O,~A,+5,~C/=(—«)+(—«)+(—«)=—3a.思考3-般地，我们规定：实数久与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记
8、作加，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？答加仍然是一个向量.(1)
9、加
10、=
11、血
12、；(2)久＞0时，2a与a方向相同；久＜0时,加与a方向相反；a=o时，加=0.方向任意.探究点二向量数乘的运算律思考1根据实数与向量积的定义，可以得哪些数乘运算律？答设儿“WR,则有①久(〃a)=；②(久+〃)a=2a+pa；③Z(a+〃)=/.a+Xb.思考2向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，乂要证明方向相同.你能根据这两条证明其屮的第①条运算律吗？答①2(心)=(讪(2,“uR)・如果久
13、=0或“=0或。=0,则①式显然成立；如果2H0,“HO,aHO,则由向量数乘的定义有函皿)
14、=
15、川两
16、=
17、2也
18、測,
19、(2“)a
20、=
21、久“
22、
23、a
24、—
25、A
26、
27、/z
28、
29、a
30、,故卩ga)
31、=
32、(/l〃)a
33、.如果久、“同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果2、“异号，则①式两边向量的方向都与a反向.因此，向量加⑷与⑷)a有相等的模和相同的方向，所以^a)=(Ajn)a.例1计算：(1)(一3)X4a；(2)3(a+b)—2(a—b)—a；(3)(2a+3〃一c)—(3a—2b+c).解(1)原式=(-3
34、X4)a=-12a；(2)原式=3a+3〃一2a+2Z>—a=5〃；(3)原式=2d+3方一c_3a+2b—c=一a+5b—2c.反思与感悟向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.跟踪训练1计算：(1)6(3。—2b)+9(—2a+b)；(2)£(3。+2〃)一知一方一舟如+孔+树；(3)6(a—b+c)—4(a—2〃+c)—2(—2a+c)・解(1)原式=18a—12〃一18a+9b=—3方.(3)原式=6
35、a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)=6a+2b.探究点三共线向量定理及应用思考1请观察a=m~n,b=~2m+2n,回答a、〃有何关系？答因为b=—2a,所以a、〃是平行向量.思考2若a、方是平行向量(aHO)能否得出〃=加？为什么？答可以.因为心方平行，它们的方向相同或相反.小结由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果d(aHO)与方共线，当且仅当存在唯—
