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《数学必修4教学案：223向量数乘运算及其几何意义(教、学案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义一、教学内容分析实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运川向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向最平行定理实际上是由实数与向最的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题乂提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面屮直线的平行区别开。二、教学目标设计1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利川实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；
2、3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。三、教学重点与难点垂点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件;难点：理解实数•向虽的积的定义，向量平行的充耍条件。四、教学用具准备多媒体、实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计1.设置情境:引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系F=ma,位移与速度的关系5=v/o这些公式都是实数与向虽间的关系。师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出方+方+方和(・R
3、+(-G+(-G向量,并请同学们指出相加后，和的长度与方向冇什么变化？这些变化与哪些因素冇关？牛•：a+a的长度是。的长度的3倍，方向与a的力向相同，(-。)+(-a)+(-a)的氏度是方氏度的3倍，其方向与厶的方向相反。师：很好！本节课我们就來讨论实数与向量的乘积问题，(板书课题：实数与向量的乘积)2.探索研究1)定义：请人家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向最的积？(可结合教材思考)可根据小学算术中3+3+3+3+3=35的解释，类比规定：实数2与向量方的积就是久方，它还是一个向量，但要对实数久与向量方相乘的含义作一番解禅才行。实数久与向
4、量乙的积是一个向量，记作久2.它的长度和方向规定如下：(1)
5、禹FMII刁.(2)2>0时，2方的方向与方的方向相同；当2<0时，久方的方向与方的方向相反；特别地，当久=0或a=6时，几7=0.1)运算律：问：求作向量2(3°)和6a(a为非零向量)并进彳亍比较，向量2(。+初与向量2t7+2b相等吗？(引导学生从模的大小与方向两个方而进行比较)生：2(3a)=6a,2a+2乙=2(°+厶).师：设方、弘为任意向量，久、“为任意实数，则冇：(1)(2+")°=加+“°；(2)久(“0)=(久“0)；(3)z(67+b)=)1).通常将（2）称为结合律，（
6、1）（3）称为分配律。小练习1：计算：(1)(-3)4a；(2)3(^7+by2(—a；(1)(2q+3厶・c)-(3g・2h+c).3）向量平行的充要条件:请同学们观察67=m-n,!）=・2m+2n,冋答a、方有何关系？牛：因为b=-22,所以方、乙是平行向量.引导：若2、方是平行向量,能否得出牙=兀？为什么？可得出2=历吗？为什么?牛：可以！因为b平行，它们的方向相同或相反.师：由此可得向量平行的充要条件：向量厶与非零向量方平行的充要条件是有且仅有一个实数久，使得乙=航.对此定理的证明，是两层来说明的:其一，若存在实数久,使方=加，则由实数与向量乘
7、积定义中第（2）条可知"与Q平行,即乙与方平行.其二，若b与a平行,「I不妨令冲，设护〃（这是实数概念）•接下来看门方向如何：①G、厶同向,则!）=pa,②若a、乙反向，贝
8、J记乙=・,总而言之，存在实数A（久=“或2=■“）使厶=久0.小练习2：如图：已知AD=3AB,DE=3BC，试判断天与五是否平行.解：•:AE=AD+DE=3AB+3SC=3(Zg+BC)=3AC：.1E与疋平行.4）单位向量:D单位向量:模为1的向量•向最Q（a16）的单位向最：与Q同方向的单位向最，记作勺・思考：瓦如何用方來表示?Ca=a3.例题与练习：题1：如图，在A
9、BC中,。是力3的中点，E是BC延长线上的点，HBE=2BC,是根据下列要求表示向量DE：(1)用励、岚表示；(2)用励、而表示.题2：如图，在AABC中，已知M、N分别是AB、/C的中点，用向量方法证明:MN//-BC题3：如图，已知0力=kOA、,0B=kOB、,0C=kOC、,求证：ABC练习：P1451、2、3、41.课堂小结:(1)久Aid的积还是向量，a是共线的;(1)向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；(2)运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一
10、样去合并同类项。2.作业布置：练习部分P88-89习题3A纽2、3、4、5.P8
