高三+直线和椭圆的最值问题

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1、辅导讲义学员编号:年级:课时数:授课类型(最值问题)(最值的综合问题)授课日期时段学员姓名:辅导科目:学科教师:教学内容—、专题精讲一、几何法求最值例1：已知椭圆—+^-=1和直线1：X-y+9二0,在1上収一点M,经过点M且以椭圆的焦点123件呂为焦点作椭圆，求M在何处时所作椭圜的长轴垠短，并求此椭圆方程。分析：设F是£关于1对称点，可求出F坐标，过F鬥的直线方程Aix-y+9=0联立得交点M为所求。22解：由椭圆方程吉+专=1，得F(—3,0人,笃(3,0),设F是百关于1对称点，可求出F坐标为(-9,6),

2、过许尺的直线方程:x+2y-3=0与x-y+9=0联立，得交点M(-5,4),即过M的椭圆长y41由+坊

3、=2a,得加=6亦,XF；M轴最短。a2=45,c2=9,b2=36所求椭閲方程为—+^-=1.4536总结:在求圆锥曲线最值问题中,如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用儿何知识求解,其中“三角形两边Z和大于第三边”是求最值常用的定理。同时，利用平儿知识求解，蕴涵了数形结合的思和27练匚已知椭圆詁器1的右焦点为F,且有定点処1),又P为椭圆上任意-点,求PF+PA的最大值.分析：设椭圆的左焦点为F',

4、则由椭圆定义知

5、PF

6、+阳=10,・•・PF

7、+

8、PA

9、=10—

10、PF'

11、+

12、PA

13、=10+

14、PA

15、-

16、PF,

17、问题转化为求

18、则—『鬥的最大优联想到构造三点共线的线段，连结AF'延长交椭圆于只点，由三角形知识易知PA-PF]的最人值为AF],问题得以解决.解:如图5,设尸为椭圆的左焦点，则由椭圆定义

19、"

20、+阳=10,VA则

21、PF+

22、PA

23、=10—

24、PF[+PA

25、=10+

26、PA

27、-

28、PF,

29、_连结AF'延长交椭圆于R点，若P与R点不同.则在AAPF'中PA

30、-

31、PFZ

32、

33、P^-PFf的最大值为AF]ta=5,h=3,・・.c=4.•.

34、AFZ

35、=V26,故

36、"

37、+

38、PA

39、得最大值为10+726二、利用圆锥曲线的第二定义求最值PAPF例2：若点A的坐标为(3,2),F为抛物线于=2x的焦点，点P在该抛物线上移动，求最小值.分析：A(3,2)在抛物线内,设P到准线的距离为PTf则由抛物线定5C

40、PA

41、+

42、PF

43、=

44、PA

45、+

46、Pr

47、,当且仅当P、A、T三点共线时,

48、PA

49、+

50、PF

51、的值最小.解:如图6,P为抛物线上任意一点，过P作PT垂直于准线/,则由抛物线定义^\PF=

52、PT则

53、pf

54、+

55、pa

56、=

57、m

58、+

59、pa

60、过A作准线I的垂线交抛物线y2=2无于尢点，交准线/于7；点.由三角形知识知PT+1開＞POTO+

61、号=

62、恥

63、准线I的方程为%=7故PA+PF的最小值为一练2：已知抛物线/=4%,定点A(3,1),F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点P,使

64、AP

65、+

66、PE

67、取最小值，并求的最小值。分析：由点A引准线的垂线,垂足Q,则

68、AP

69、+

70、PF

71、=

72、AP

73、+

74、PQ

75、,即为最小值。解：如图，・・・y2=4x,・・・“=2,焦点F(1,O)o由点A引准线x二-1的垂线,垂足Q,则

76、AP

77、+

78、PF

79、二

80、AP

81、+

82、PQ

83、,即为最小值.(

84、AP

85、+

86、PF

87、)mi=4.Q忒丁，得咱)为所求点.若另取一点卩,显然

88、AP

89、+

90、PF

91、=

92、AF

93、+

94、P0A

95、AP

96、+

97、PQ

98、。总结：利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强，但可以避繁就简，化难为易。又如已知圆锥曲线内一点A与其上一动点P,求IAPI+也」的最值时，常考虑圆锥曲线第二e定义。三、利用圆锥曲线的参数方程求最值22例3、椭圆亠+=1的切线与两坐标轴分别交于A,B两点，求三角形OAB的最小面积。分析：写出椭圆参数方程x=cicqs

99、0y=bsinO9设切点为P(dCOS&,dSin&),可得切线方程。解：设切点为P(GCOS&,dsin&),则切线方程为竺纟兀+里竺y=l.a总结:ab令y二0,得切线与x轴交点4(,0)；令x二0,得切线与y轴交点B(0,)cos&sin&ab岛诃，九皿利川関锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的冇界性得出结果。・・・5冷练3：(已知点P是椭圆x2+8尸二8上到直线/：X-y+4=0的距离最小的点，则点P的坐标是)A.(-

100、,

101、)B.(

102、,

103、)C.(O,±l)D.(±2^2,0)2分析：

104、先将椭圆方程x2+8y2=8化为标准方程学+于=1,即a=2迈,b=,再将标准方程转8化成参数方程F=2血COS&(効参数)就得到动点P(2迈cos0,sin0)的坐标，y=sin0利用点到肓线的距离公式及三角函数的求最值的方法，问题得到解决.解:将x2+8y2=8化成参数方程卜"dcos&(砒参数)，设P(272cos^,sin^)，则Iy=sin0pQcos&-si