许正川课例及教学设计

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1、许正川课例及教学设计计算机辅助中学数学概念教学的教学案例问题背景:在中学数学教学中，概念教学是重要的，也是困难的。造成概念教学困难的原因是多方面的。首先是对它的重视程度不够。在当前应试教育的体制下，对解题教学的重视远远超过概念教学，用于解题训练的时间与精力远远多于对数学概念形成过程的剖析。另一方面，学生缺乏必要的抽象概念的思维过程。而传统教学在讲授概念时一个难以克服的困难是学生缺乏足够的活动与实验，教师往往用自己的演讲代替了学生自身的“建构"过程。在课堂上提供的思维材料十分贫乏。利用计算机辅助数学概念教学恰恰可以弥补这一缺陷，它便于创

2、设富于启发性的教学情景，在改进数学概念教学方面有着巨大的潜力。设计依据：课堂教学模式：米用"问题情景实验探索观察发现对话交流得出结论”的新模式。用计算机辅助数学概念教学后，很好地实现了e的大小（数）与椭圆的扁平程度（形）的结合，教学内容变得直观、具体，便于学生在实际的实验操作中从“数”、“形”两方面加深对这一知识的理解。另外，在传统的教学当中，往往借助椭圆的第一定义从“数”的角度得出椭圆第二定义，用计算机辅助数学概念教学后，先让学生从“形"的角度建立起感性认识，然后从“数"的角度上升到理论认识，适合学生的认知心理特点，再现了知识的发生

3、、发展过程，便于学生理解与掌握椭圆第二定义。教学情景：题目：如图1,B是半径为探索椭圆的第二定义r的定圆A内的一定点,M是圆上的一动点，线段BM的垂直平分线与直径MN的交点为P,求点P的轨迹。师：点P的轨迹是什么图形？n生：一个椭圆。"“为什么？"“因为点P在线段BM的中垂线上，所以

4、PB

5、=

6、PM

7、这样，

8、PA

9、+

10、PB

11、=

12、PA

13、+

14、PM

15、=

16、AM

17、=r。由于点B在圆内，所以

18、AB

19、

20、AB

21、是这个椭圆的焦距，即

22、AB

23、=2c；

24、而圆A的半径

25、AM

26、是椭长轴长，即

27、AM

28、=2ao实验：请同学们用鼠标在圆内左右来回拖动点Bo（等学生操作后）你们发现了什么?生：椭圆的小’在变。__2c的大小，2a并没有变，请大家“测算”师：应该说椭圆的扁平程度在变。刚才我们猴了（软件菜单项）一下比值°的大小。（°的值就显示在屏幕上.）aa继续实验：请同学们再拖动点B,同时观察比值°的大小变化。（等学生操作后）根据a您的观察，椭圆的扁平程度与比值°是什么关系？—a生：比值越大，椭圆越扁；比值越小，椭圆越圆。师：我们把影响椭圆扁平程度的比值°定义为“椭圆的离心率"o椭圆的离心率常用字

29、母eap来表示，即e=oe越接近于0,这时椭圆就接近于圆。它的取值有范围吗？a生：（很容易）有。在区间（0,1）±o师：同学们，假设有光线从点A发岀，射到点P处，经过直线“能“为什么？"“根据线段的垂直平分线的性质，有Z师：这正是椭圆的光学性质。在一个顶部是半椭球的剧场中，B处也一定听得很清楚。师：下面再请同学们把看一看它与直径大家发现了什么？发现点Q就在点对。对线段BN的操作与对BM的操作是类似的。这样线段PQ就是椭圆的一条经过焦点的弦，称为椭圆的“焦点弦"；线段AP、AQ是椭圆的焦半径。它们有许多有趣的性质，以后我们再研究它。下面

30、请大家作出直线EP、FQ的交点H,并探求它的轨迹。（同学们操作以“台匕PE的反射，能反射到点B吗?APC二ZBPE。"如果演奏者在A处演奏，您在B、N连接起来，作出线段BN的MN的交点Q的轨迹。（让同学们各自操作以后问）垂直平分线,生:师:P的轨迹——椭圆上（图3）oMTPEDNAF后）点H的轨迹是什么图形?（齐声）一条直线。生：师：请再仔细观察一下。这条直线与直线AB有什么关系?（图3）生：垂直。师：这么肯定？请您作出直线AB与直线I的交点D,“测算"出它们所成角的大小，然后再拖动点M看一看有没有变化。（学生操作后，都说没有变化，是

31、90°）看起来H的轨迹确是一条直线，并且这条直线I与椭圆的长轴垂直，请同学们课后再证明一下。好，下面请大家过点P（或者点Q）作直线I的垂线，（片刻）设垂足为T,然后“测算"出

32、PA

33、、

34、F〉T

35、的大小，并“测算”比值卜MHo（学生完成操作后）你们发现了什么？

36、PT

37、亠l-PA-l生：i1=■0

38、PT

39、a再实验：请同学们拖动点M再认真观察，验证您的结论是否正确。生：（拖动点M变动以后）它们总相等。师：对。比值1PA

40、也是椭圆的离心率

41、PT

42、e,那么椭圆又可以说成是满足什么样的几何条件的点的轨迹呢？我请A同学叙述一下。A：椭圆上的任意一点

43、P到焦点A的距离与到直线I的距离之比总保持一个常数e。师：对。椭圆是平面上到一个定点A的距离与到一条定直线I的距离之比为一个常数e（0