电磁波理论 第4章 静态场边值解法

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1、第四章、静态场边值解法§4.1静态场边值问题唯一性定理§4.2镜像法与电轴法§4.3电轴法4.1静电场边值问题唯一性定理4.1.1泊松方程与拉普拉斯方程推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：泊松方程泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。例1.4.1列出求解区域的微分方程拉普拉斯方程——拉普拉斯算子4.1.2静电场的边值问题图1.4.1三个不同媒质区域的静电场2.唯一性定理的重要意义可判断静电场问题的解的正确性：例1.4.1图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？答案：（C）唯一性定理为静电

2、场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。图1.4.7平板电容器外加电源U04.1.2唯一性定理证明：（反证法）为什么说第二类边界条件与导体上给定电荷分布或边界是电力线的条件是等价的？已知场域边界上各点电位值图1.4.2边值问题框图自然边界条件参考点电位有限值边值问题微分方程边界条件场域边界条件分界面衔接条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法模拟法定性定量积分法分离变量法镜像法

3、、电轴法微分方程法保角变换法有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法数学模拟法物理模拟法图1.4.3边值问题研究方法框图4.2镜像法4.2.1镜像法边值问题：（导板及无穷远处）（除q所在点外的区域）（S为包围q的闭合面）1.平面导体的镜像镜像法:用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。图1.7.1平面导体的镜像上半场域边值问题：（除q所在点外的区域）（导板及无穷远处）（S为包围q的闭合面）（方向指向地面）整个地面上感应电荷的总量为例1.7.1求空气中一个点电

4、荷在地面引起的感应电荷分布情况。解:设点电荷离地面高度为h，则图1.7.2点电荷在地面引起的感应电荷的分布2.导体球面镜像设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。1)边值问题：（除q点外的导体球外空间)图1.7.3点电荷对接地导体球面的镜像由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为图1.7.5点电荷位于接地导体球附近的场图镜像电荷不能放在当前求解的场域内。镜像电荷等于负的感应电荷图1.7.4接地导体球外的电场计算在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置解:边值问题：(除q点外的导体球外

5、空间）(S为球面面积)例4.2.1试计算不接地金属球附近放置一点电荷时的电场分布。任一点电位及电场强度为：图1.7.6点电荷对不接地金属球的镜像感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。正负镜像电荷绝对值相等。正镜像电荷只能位于球心。试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置?补充题：图1.7.8点电荷对导体球面的镜像图1.7.7点电荷位于不接地导体球附近的场图不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷吗?为什么？3.不同介质分界面的镜像边值问题：(下半空间)(除q点外的上半空间)图1.7.9

6、点电荷对无限大介质分界面的镜像和•中的电场是由决定，其有效区在下半空间，是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。即图1.7.10点电荷位于不同介质平面上方的场图•中的电场是由与共同产生，其有效区在上半空间，是等效替代极化电荷的影响。图1.7.11点电荷与分别置于与区域中为求解图示与区域的电场，试确定镜像电荷的个数、大小与位置。4.6镜像法（ImageMethodinStaticMagneticField）联立求解，得由得由得例4.6.1图示一载流导体I置于磁导率为的无限大导板上方h处，为求媒质1与媒质2中的B与H的分布，试确

7、定镜像电流的大小与位置？解：根据唯一性定理，在无效区放置镜像电流，用分界面衔接条件确定与。图3.6.1两种不同磁介质的镜像与静电场镜像法类比，这里的原因何在？例3.6.2空气与铁磁媒质的分界面如图所示，线电流I位于空气中，试求磁场分布。空气中铁磁中空气中B线垂直于铁磁平板，表明铁磁平板表面是等磁位面。镜像电流解：图3.6.2线电流I位于无限大铁板上方的镜像铁磁中磁感应强度B2=0吗？例3.6.3若载流导体I置于铁磁物质中，此时磁场分布有什么特点呢？由图可见，此时磁场分布有特点：•对空气侧而言，铁磁表面仍然是一个等磁位面。

8、空气中的B线与铁磁表面相垂直（折射定理可以证明之）。•空气中的磁场为场域无铁磁物质情况下的二倍。镜像电流解：图3.6.3线电流I位于无限大铁磁平板中的镜像镜像法（电轴法）小结镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一性定理；镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；镜