电磁场与电磁波 第4章 静态场的边值问题

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1、第四章静态场的边值问题在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问题通常分为3类：第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值；第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值；第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数值。求解边值问题的方法主要有解析法和数值法两大类。解析法中最基本的是镜像法和分离变量法。4.1唯一性定理唯一性定理在位场的三类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。证明（反证法）：设在区域V内，有体电荷分布(r

2、)，在V的边界面S上，电位的值f(S)或电位函数法向导数的值g(S)已知。假定存在两个解1和2，它们都满足泊松方程和相同的边界条件，即在区域V内有在边界面上有令，于是（4-1-1）（4-1-2）（4-1-3）唯一性定理给出了定解的充分必要条件，它表明，对于静态场，当电荷（或电流）分布以及场域边界面上的边界条件已知时，场的分布就唯一地确定。在格林第一恒等式中令==’，并利用式(4-1-3)，可知，对三类边界条件都有对于第一类边界条件,,则C=0，所以1=2，解是唯一的。对于第二类边界条件,,则C不一定为零。常数对梯度无贡献，这两个位函数将给出同一场矢

3、量，解也是唯一的。4.2镜像法镜像法是求解静态场边值问题的一种间接解法，其理论依据是唯一性定理。镜像法主要用于求解理想导体附近的电荷产生的电场或铁磁质附近的电流产生的磁场。在这类问题中，场由区域内的电荷（电流）以及界面上的电荷（电流）共同激发。镜像法的思想是，在所求解场区域以外的空间中某些适当位置上，设置适当的像电荷（像电流）来替代界面上的电荷（电流）的效果，这些等效电荷（电流）与场域内的电荷（电流）共同作用结果满足场域边界面上给定的边界条件，从而可以将界面移去，使所求解的边值问题转化为无界空间的问题。运用镜像法必须遵循两条规则：(1)像电荷（像电流）只能位于所

4、求解的场域之外的空间，而所得的解只在场域内正确；(2)像电荷（像电流）的个数、位置及其量值以使场域的边界条件得以满足为准则来确定。4.2.1导体平面镜像法如右图，无限大接地导体平面上方与之距离为处有一个电量为q的点电荷，求上半空间的电位分布。上半空间的电场由点电荷以及导体平面上的感应电荷分布共同激发。z>0的上半空间除q所在点外，电势满足2=0。又因为导体平面接地，因此，在z=0的平面上=0。若假设导体平面不存在，而在z=0的平面下与q对称地放置一个电量为-q的点电荷，则上半空间内场方程保持不变，且平面z=0仍为=0的等位面。因此，可以用q和–q两个点电

5、荷组成的电荷系统来代替原边值问题。于是，上半空间中任一点处的电位：其中，R、R’分别为源电荷、像电荷到场点的距离。根据导体表面电场的边界条件en•D=S，可得导体平面上的感应面电荷分布：导体表面上的总感应电荷：（4-2-1）对于边界面为相互正交的两个无限大接地导体平面情形，为保持两个平面电位为零，必须设置三个像电荷，如右图所示。4.2.2导体球面镜像法设点电荷q位于一个半径为a的接地导体球外，距球心为d，如下图所示。用镜像法求球外的电位分布。像电荷q’应位于球内。由对称性，q’在球心与q的连线上。设q’距球心为b，则q和q’在球外任一点(r,,)处产生的电

6、位为q’和b由球面电位为零的边界条件来确定。考虑球面上的两个特殊点=0和=，由式(4-2-2)，有（4-2-2）解之可得，像电荷的电量及其与球心的距离分别为（4-2-3,4）满足上述第二关系式的像电荷的位置称为源电荷位置关于半径为a的圆的反演点。将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位（4-2-5）若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷q后，它的电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，像电荷必须有两个：，位于源电荷位置的反演点；,位于球心。球外的电位由q、q’和q”共同激发。若导体球不接地且带有电量Q，则

7、当球外放置点电荷q后，它的电位不为零，球面的净电荷为Q。为满足边界条件，像电荷仍为两个：，位于源电荷位置的反演点；q”=Q–q’，位于球心。4.2.3导体柱面镜像法设半径为a的无限长导体圆柱外有一根与之平行的无限长线电荷，距圆柱轴线为d，如下图(a)所示。若电荷的线密度为l，求圆柱外的电位分布。由对称性，像电荷也是无限长线电荷。设像电荷的线密度为，位于圆柱内，与轴线的距离为，进行试探求解。空间任意点的电位等效为由两根平行线电荷共同产生。利用例3.1.4的结果，柱外任一点的电位为（4-2-6）其中，分别为源线电荷和像线电荷到场点的距离；由柱面为等位面这一边界条件

8、来确定；C的值与电位零点