电磁场与电磁波--静态场边值问题

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1、电磁场与电磁波静态场边值问题内容边值问题、唯一性定理镜像法分离变量法8/17/20212东南大学毫米波国家重点实验室概述静态场问题分布型问题：已知场源（如电荷分布、电流分布），直接计算空间各点的场强或位函数边值型问题：已知空间某一确定区域内的场源分布与位函数满足的某种类型的方程，以及该区域边界面上的位函数（或位函数的法向导数）——边界条件，求场内位函数的分布8/17/20213东南大学毫米波国家重点实验室边值型问题的方法解析方法：镜像法、分离变量法、复变函数法、格林函数法等数值方法：有限差分法、积分方程法、有限元法、边界元法等求解边值型

2、问题的空间电场、磁场分布可以转化为求解给定边界条件下位函数的Poisson方程或Laplace方程，由电场、磁场的场强与位函数的关系得到空间电场、磁场的分布Laplace方程为二阶偏微分方程，可以应用的求解方法包括解析法、数值法、实验模拟法、图解法等8/17/20214东南大学毫米波国家重点实验室一、边值问题的分类第一类边值问题给定求解区域整个边界上的位函数值，称为第一类边值问题式中，Si为求解区域的边界，fi为边界Si上位函数的值8/17/20215东南大学毫米波国家重点实验室第二类边值问题给定求解区域整个边界上位函数沿边界外法向的偏

3、导数值，称为第二类边值问题式中，gi为边界Si上位函数的外法向偏导数值8/17/20216东南大学毫米波国家重点实验室第三类边值问题将求解区域的边界分为两部分，一部分边界上给定位函数值，另一部分边界上给定位函数沿边界外法向的偏导数值，称为第三类边值问题式中fi、gi分别为边界Si上的位函数值与位函数外法向偏导数值8/17/20217东南大学毫米波国家重点实验室辅助边界条件求解区域填充的为分区均匀媒质，任意两种媒质分界面上的边界条件称为辅助边界条件无限大求解空间场源分布于有限区域中无穷远处的边界条件8/17/20218东南大学毫米波国家重

4、点实验室二、静态电磁场唯一性定理唯一性定理任意静态电磁场，当空间各点的电荷分布（或电流分布）与整个边界上的边界条件已知时，空间各部分的场唯一确定。或者说满足边界条件的Poisson方程或Laplace方程的解是唯一的8/17/20219东南大学毫米波国家重点实验室二、镜像法平面镜像法无限大导体平面问题无限大接地导体平面上方，距导体面为h处存在一点电荷q，求解导体平面上方空间的电位导体平面上方的电位由点电荷q与导体平面上的感应电荷共同产生导体平面上感应电荷的分布与空间电场有关，且为未知量导体平面上方，除点电荷所在点（奇异点）外，电位均满足

5、Laplace方程导体平面为求解空间的边界，其电位为零因此，由电荷分布直接求解电位比较困难，或直接求解Laplace方程亦相当复杂8/17/202110东南大学毫米波国家重点实验室镜像法：在点电荷q相对于导电平面的对称位置放置一虚拟的等值异号的点电荷-q（镜像电荷），设导电平面下方的媒质与其上方相同，并移去导电平面，将问题转化为无限大均匀媒质中两点电荷产生的电位问题（镜像问题）问题转化后，场源、边界条件均未发生变化8/17/202111东南大学毫米波国家重点实验室导电平面上方的电位为q与-q各自产生电位的叠加对于导体平面上方区域，原问题

6、与镜像问题二者电荷分布相同，边界条件相同，根据唯一性定理，二者的电位分布相同对于导体平面下方区域，原问题与镜像问题电荷分布不同，镜像法不适用若点电荷不止一个，而是离散分布的N个，则需分别设置N个点电荷的镜像电荷，镜像电荷与原点电荷分别相对于导电平面对称，带等值异号的电量8/17/202112东南大学毫米波国家重点实验室导体平面上的感应电荷导体平面上方的电场强度8/17/202113东南大学毫米波国家重点实验室导体平面上的面电荷密度导体平面上的感应电荷8/17/202114东南大学毫米波国家重点实验室8/17/202115东南大学毫米波国

7、家重点实验室无限大接地导体平面上方，距导体面为h处放置一电荷均匀分布的无限长直导线，电荷密度为ρl，且导线平行于导体平面，求导体平面上方的电位叠加原理：无限长直导线分解为无穷多的线电荷元，每个电荷元均近似认为是点电荷，这些点电荷的镜像电荷的叠加为一无限长直导线，与原导线相对于导电平面对称，带等量异号电荷，电荷密度为-ρl，设导电平面下方媒质与上方相同，并移去导电平面原问题转化为无限大空间中两平行的带等量异号电荷的无限长均匀直导线产生的电位问题待求电位为8/17/202116东南大学毫米波国家重点实验室8/17/202117东南大学毫米波

8、国家重点实验室无限大介质平面无限大空间存在介电常数分别为ε1、ε2的两种介质，分界面为无限大平面，介质1中距分界面为h放置一点电荷q，求两介质中的电场或电位8/17/202118东南大学毫米波国家重点实验室