电磁场与电磁波课件第5章静态场的边值问题

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1、第5章静态场的边值问题静态场是指场量不随时间变化的场，静态场包括：静电场、恒定电场及恒定磁场。静电场的场量与时间无关，位函数所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。静电场的边值问题：给定边界条件下，求泊松方程或拉普拉斯方程解的问题。数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该方程的定解条件。5.1引言静电场问题1.由场求源：由微分方程求解。若源的分布具有某种对称性，从而判断场的

2、分布也具有某种对称性时，可用高斯通量定理求解电场或安培环路定理来求磁场。2.由源求场：分布型问题和边值型问题。(1)分布型(2)边值型已知确定区域中的源分布和其边界上的位函数或位函数的法向导数分布，求解该区域中位函数的分布状况，这类问题称为边值型问题或简称为边值问题。边值问题的分类：边值问题根据边界条件给出的形式不同可分为以下三种类型。第一类边值问题：给定整个边界上的位函数求区域中位函数的分布，这类问题又称为狄里赫利问题。第二类边值问题：给定整个边界上位函数的法向导数求区域中位函数的分布，这类问题又称为纽曼问题。第

3、三类边值问题：给定一部分边界上的位函数和其余部分边界上的法向导数，求区域中位函数的分布，这类问题混合问题。1.静电场、恒定电场、恒定磁场的基本方程。4.镜像法、分离变量法。重点：3.理论依据：唯一性定理、叠加原理。2.静态场的位函数方程。静态场与时变场最基本的区别在于静态场的电场和磁场是彼此独立存在的，即电场只由电荷产生，磁场只由电流产生。没有变化的磁场，也没有变化的电场。1、静电场的基本方程静电场是静止电荷或静止带电体产生的场，其基本方程为上式表明：静电场中的旋度为0，即静电场中的电场不可能由旋涡源产生；电荷是产

4、生电场的通量源。电介质的本构方程为静态场的基本方程2、恒定电场的基本方程恒定电流的形成+ABC-要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力搬到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。维持恒定电流的电场为恒定电场若一闭合路径经过电源，则：即电场强度的线积分等于电源的电动势若闭合路径不经过电源，则：恒定电场在无电源区的基本方程的积分形式和微分形式分别为导体中的本构方程为3、恒定磁场的基本方程这是恒定磁场的基本方程。从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋涡场的源

5、，电流线是闭合的。磁介质中的本构方程为恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体中的传导电流为I，电流密度为,则有静电场可以用一个标量函数的梯度来表示它:1、静电场的位函数分布即式中的标量函数称为电位函数。所以有对于均匀、线性、各向同性的介质，ε为常数,即静电场的位函数满足的方程。静态场的位函数上式即为在有电荷分布的区域内，或者说在有“源”的区域内，静电场的电位函数所满足的方程，我们将这种形式的方程称为泊松方程。如果场中某处有ρ=0，即在无源区域，则上式变为我们

6、将这种形式的方程称为拉普拉斯方程。它是在不存在电荷的区域内，电位函数应满足的方程。拉普拉斯算符在不同的坐标系中有不同的表达形式：在直角坐标系中在圆柱坐标系中在球坐标系中2、恒定电场的位函数分布根据电流连续性方程及物态方程并设电导率为一常数（对应于均匀导电媒质），则有则有在无电源区域，恒定电场是一个位场，即有这时同样可以引入一个标量位函数使得这说明，在无电源区域，恒定电场的位函数满足拉普拉斯方程。3、恒定磁场的位函数分布人为规定(1)磁场的矢量位函数这个规定被称为库仑规范于是有此式即为矢量磁位的泊松方程。恒定磁场是有

7、旋场，即,但它却是无散场，即引入一个矢量磁位后，由于，可得此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。在没有电流的区域有在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为(2)磁场的标量位函数这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数，即标量磁位函数注意：标量磁位的定义只是在无电流源区才能应用。即令以上所导出的三个静态场的基本方程表明：静态场可以用位函数表示，而且位函数在有源区域均满足泊松方程，在无源区域均满足拉普拉斯方程。因此，静态场的求解问题就变成了如何求解泊松方程和拉普

8、拉斯方程的问题。这两个方程是二阶偏微分方程，针对具体的电磁问题，不可能完全用数学方法求解。在介绍具体的求解方法之前，我们要先介绍几个重要的基本原理，这些原理将成为以后求解方程的理论依据。5.2.1唯一性定理在求解静态场问题时,我们希望其解是唯一的,那么,在什么条件下,其解才是唯一?三类边值条件:，给定边界上的位函数,即已知S为边界上的点。给定边界上的位函数的