《静态场的解法》PPT课件

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1、第三章静态场的解法本章内容3.1静态场边值问题及唯一性定理3.2直接积分法3.3在直角坐标系中的分离变量法3.4在圆柱坐标系和球坐标系的分离变量法3.5镜像法3.6静态场的数值解法3.1静态场边值问题及唯一性定理静态场的问题大体上可分为两类：（1）分布型问题（2）边值型问题常遇到的边值问题有三种：（1）全部边界上的位函数是已知的，称为第一类边值问题，又称为狄利克雷（Dirichlet）问题。（2）全部边界上的法线方向的位函数的导数是已知的，称为第二类边值问题，又称为纽曼（Neumann）问题。（3）混合边值问题，

2、又称为第三类边值问题，它是第一类和第二类边值问题的混合型。静态场的边值问题有多种求解方法，大体可分为以下几种：（1）直接求解法：直接积分法、分离变量法、格林函数法等。（2）间接求解法：复变函数法、镜像法等。（3）数值计算法：有限差分法、有限元法、矩量法等。唯一性定理：不管用什么方法，可以如上任何一种方法，也可以依靠判断猜出解答，只要在给定区域内满足所要求解的微分方程，并满足给定的全部边界条件，那么这个解答就是静态场的唯一解答。3.2直接积分法下面举几个例子来介绍这种方法的应用。例3.2.1空间电荷区如图3.2.1

3、所示，在-l～0区域内为负电荷，在0～l区域内为正电荷，且电荷分布函数为ρ=Kqx（x范围为-l≤x≤l，K为比例常数）。取x=0为电位参考点，在x=±l处电场为零。求在-l＜x＜l范围内的电位分布和电场分布。解：在-l≤x≤l范围内，电位满足泊松方程（ε为材料的介电常数）从图3.2.1可以看出，电位函数是x的函数，即=（x）对上式进行积分例3.2.2有一个半径为R的球体，均匀分布着体电荷密度为ρ的电荷。设球内、外介质的介电常数为和。求球内、外的电位分布和电场强度分布。解：由于球体具有球对称分布，取球坐标系，电位

4、为半径r的函数，与坐标θ和φ无关，即φ=φ（r），则在球内：在球外：在球体表面根据边界条件可知在r=R处有对式（3.11）进行积分得3.3在直角坐标系中的分离变量法如果边界面的形状适合用直角坐标系表示，那么可以在直角坐标系中求解。在直角坐标系中，位函数的拉普拉斯方程为位函数φ是x、y、z的函数，可以表示成三个单变量未知函数的乘积（3.49）式中f(x)仅为x的函数；g(y)为y的函数，h(z)为z的函数，得上式除以得上式第一项仅是x为变量的函数，与y和z无关；而第二项仅随y而变化，第三项仅随z而变化。所以式（3.

5、50）成立的唯一条件是这三项中每一项都是常数。令第一、二、三项分别为常数，即三个常数满足的关系式为（3.54）这样就把偏微分方程（3.48）变成了三个常微分方程，这种方法就是分离变量法。三个常微分方程（3.51）～（3.53）可以改写为下面讨论拉普拉斯方程对二维位场的求解问题。所谓二维位场即是于是有例3.3.1两块彼此平行的半无限长接地金属板，板间距离为b，两平行板的一端另一块电位为的极长的金属条，它们之间缝隙极小，但彼此绝缘，如图3.2所示。求两板间的电位分布。解:给定的边界条件为例3.3.2两块完全相同的T形

6、导体构成导体槽，两块T形导体间有一狭缝，如图3.3.2(a)所示。上板所加的电压为U0，下板接地。求金属槽内的电位分布。图3.3.2例3.3.2图解：本题所给的场可以分解为两个场的叠加，分解后的两个场如图3.3.2(b)(c)所示。槽内的电位分别为x、y的函数，是一个二维场问题。分解后第一个场是两个距离为d的无穷大的平行板，上板电压为U0，下板接地，其解为(3.3.23)第二个场电位为φ2，是两个电位为零的无穷大的平行板，并且在x=0处φ2满足那么金属槽内的电位分布的解为φ=φ1+φ2，分别求出φ1和φ2，φ也就

7、得出来了，根据唯一性定理，即是要求的唯一解答。φ1已知，见（3.3.23）式，下面求出φ2。由例3.3.1的讨论，φ2可表示为(3.3.24)式中Cn由x=0处的边界条件求出，即可以确定傅里叶系数Cn为则(3.3.25)金属槽内的电位分布为(3.3.26)3.4在圆柱坐标系和球坐标系的分离变量法1.在圆柱坐标系的分离变量法在圆柱坐标系中，拉普拉斯方程为(3.4.1)下面讨论电位φ不随纵向（z方向）变化的二维场问题，即φ仅为r和变化的情况。此时拉普拉斯方程变为(3.4.2)设（3.4.3）式中R(r)仅为r的函

8、数，把式（3.4.3）代入到式（3.4.2）中得(3.4.4)式（3.4.4）第一项是关于r的函数，第二项是关于的函数，要使上式对于所有的r和都成立，必须每项都等于一个常数，于是有（3.4.5）(3.4.6)对式（3.4.6）求解，其解为(3.4.7)对于所研究的实际问题，位场是单值的，则有所以k必须为整数，令k=n，于是式（3.4.7）变为(3.4.8)用n代替k，