第四章 静态场边值问题的解法.ppt

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1、第四章静态场边值问题的解法静电场和恒定电场的求解，可归结为在给定边界下，对拉普拉斯方程或泊松方程的求解。解析法数值法分离变量法镜像法复变函数法格林函数法有限差分法解法下页上页返回4.1分离变量法1.分离变量法的思想把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的乘积表示，从而将偏微分方程分离为几个常微分方程分别求解，最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。分离变量法解题的一般步骤：写出边值问题（微分方程和边界条件）；分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；解常微分方程，并叠加得到通解；下页上页返回利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。下页上页分离变量法采用正

2、交坐标系，当场域边界与正交坐标面重合或平行时，分离变量法是一种有效的方法。2.直角坐标系中的分离变量法（二维场）分离变量，设解答为：代入微分方程设分离常数的取值有三种情况：下页上页除以fg分离常数特解1下页上页返回指数函数特解2下页上页特解3通解为所有特解的叠加下页上页对于具体问题，根据边界条件确定积分常数，积分常数的确定一般有：比较系数法傅立叶级数展开法分离常数的确定：若边界条件可看成周期性（f=0），则分离常数为虚数，对应解为三角函数；若边界条件为非周期性，则分离常数为实数，对应解为双曲函数或指数函数，其中有限区域的取双曲函数，而无限区域的解衰减的指数函数；若场与某坐标无

3、关，则分离常数为零，对应解为常数；确定了各坐标变量方程的解，它们的乘积是拉氏方程的特解，须将特解线性叠加，使其满足边界条件，从而确定各系数，求得电位函数。下页上页返回试求长直接地金属槽内电位的分布。边值问题（D域内）接地金属槽的截面下页上页例：解：(1)(2)(3)(4)代入边界条件，确定积分常数下页上页由边界条件（1）得：f(0)=0由边界条件(1)、（2）分析可知：由边界条件（2）得f(a)=0下页上页由边界条件（3）代入得可知g(0)=0将各特解线性叠加得通解下页上页由边界条件（4）代入通解得比较系数当时，当时，若金属槽盖电位，再求槽内电位分布通解当时，下页上页返回傅立

4、叶级数代入通解接地金属槽内的等位线分布下页上页下页上页返回下页上页2.圆柱坐标系中的分离变量法（二维场）设电位只是r和f的函数，拉普拉斯方程为：分离变量,设代入微分方程分离常数下页上页欧拉方程当时，不是周期函数因周期函数当时，欧拉方程必为实数必为整数下页上页返回通解下页上页或若求的是圆柱区域的问题，则A0=0,B0=0取圆柱坐标系，边值问题垂直于均匀电场E0放置一根无限长均匀介质圆柱棒，试求圆柱内外f和E的分布。下页上页返回例：解：通解均匀电场中的介质圆柱棒E0f2f1P(r,j)e下页上页利用给定边界条件确定积分常数通解对称性b.可知参考点a.有限值通解c.由比较系数通解下

5、页上页返回下页上页d.分界面的衔接条件对于f2，n=1最终解下页上页均匀电场均匀外电场中介质圆柱内外的电场下页上页介质柱内电场均匀，并与外加电场E平行；表明若2<1，E2>E1；若2>1，E2

6、荷关于导体平面对称，电荷大小相等带电量相反，RR上半场域的电位和电场下页上页返回-q是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板上复杂分布的感应电荷的作用；注意镜像电荷应放置在所求区域（有效区）以外；根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可作相应的镜像。pR2R1地面上感应电荷的总量为垂直地面的电场分量试求空气中点电荷q在地面引起的感应电荷分布及点电荷受到的作用力。解：下页上页返回例：应用镜像法，地面任意点地面电荷分布RR镜像电荷点电荷q受到的作用力：用线电荷密度为rl无限长直导线代替点电荷q，则单位长直导线受到的作用力：镜像电荷单位长作用力下页上页返回点电荷对相交接地平面导

7、体边界的镜像如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。要满足在导体平面上电位为零，则必须引入3个镜像电荷。如图所示。对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若为偶数则可用镜像法求，镜像电荷位于以OP为半径的圆周上，则所有镜像电荷数目为n-1个。OP下页上页返回镜像法小结镜像法的理论依据是：镜像法的实质是：镜像法的关键是：镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。用虚设的简单分布的镜像电荷替代未知的复杂分布电荷，使计算场域为无限大均匀媒质；静电场唯一性定理；确定镜像电荷的个数，大小及位置以保证原场的边值问题不变；应用