第四章 静态场边值问题的解法

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1、直角坐标中的分离变量法镜像法有限差分法第四章静态场边值问题的解法1第三章我们已经知道，在边界条件已知的情况下（三类边界条件：拉普拉斯方程有唯一解。求解边值问题，有两大类：一类是解析法，可以得到精确解，其中分离变量法是最基本的解法；另一类是数值法，如时域有限差分法，只能得到近似解，但随着计算技术的进步，该方法优势十分明显，因为其简单方便。再加上一种等效法，如镜像法2第一节直角坐标中的分离变量法适用于：1、所给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合(或部分相合)；2、其解可用三个函数乘积表示,每个函数只是一个坐标的函数。目的:通过分离变量将偏微分方程化为常微分方程求解。3

2、令4上式成立，每项必为常数，可令:56再根据边界条件得出具体的待定系数（会用到三角函数的正交归一性）7YXab4－1、求截面为矩形的无限长区域的电位，其四壁的电位为解：由边界条件知，方程的基本解在y方向应该是周期函数，且仅仅取正弦函数。8考虑到在x方向是有限区域，且取，这是因为9所以，下面待定系数：在x＝a边界上，使用三角函数正交归一性：在上式两边同时乘以，再在，则可10正交归一：11从而12圆柱坐标和球坐标中的分离变量法，道理和思路是一致的，这里不再重述，当然不讲就不在考试范围之内。13课堂练习：一个沿z轴很长的横截面为矩形的金属管，其余三边电位为0，第四边与其

3、它边绝缘，电位为，求管内的电位分布？14解：电位为二维，即只与x、y有关，边界条件为，由边界条件可以直接得到解的形式，将以y＝b代入，得到，15通过比较得，从而管内电位为16当然也可以用三角函数的正交归一性进行处理，三角函数的正交归一性，其实质是选出同频率（谐振频率）的信号。17例2、求导体槽内的电位，槽宽在x、z方向，由两块T型导体形成，中间有狭缝，外加电压。该题较复杂，详细讲：解：二维平面场，与z无关，分解为两场叠加，且原边界条件图4.1.2导体槽内的电位18将边界条件拆分成两种简单边界情况：=+图4.1.2导体槽内的电位xyod1xyodd219（1）为平板

4、电容，xyod1U020（2）由两个电位为0的无穷大平板。在x=0平面处的边界条件可以求出=+图4.1.2导体槽内的电位xyod1xyodd221xyodd222代入x＝023三角函数的正交归一西格玛符号会去掉2425有限差分法：是一种数值解法，也即一种近似解法。把求解的区域划分成网格，从而将求解区域内连续的场分布，用求网络节点上的、离散的、数值解来代替，当然网格分得越细，精度越高，但计算速度越慢。见P97页图4.5.1设x轴上临近0点的电位为，进行泰勒展开得：故1点的电位：3点的电位：故，26当h很小的时候，4阶以上可以忽略不计，即同理从而27任意点的电位等于围

5、绕它的四个点的电位的平均值；三维？4－3、已知图示的1、2、3、4，求该四点的电位。0V0V0V100V1234解：即，28第四节镜像法用于特殊边界情况方法用假想电荷代替边界;假想电荷与原有电荷产生的场满足原问题边界条件;假想电荷与原电荷产生电位的叠加即为所求电位。假想电荷又称为镜像电荷。29镜像法：1、在我们所研究的区域之外，用一些“假想电荷（镜像电荷）”代替“场问题的边界”。2、如果“假想电荷”和“场区域原有电荷”共同产生的场满足“原来”场问题的边界，即假想电荷＋场区域原有电荷＝边界条件。3、则电位运用叠加原理进行叠加计算。为什么可以这样做呢？？？30这是因为

6、：q导体1）无限大平面边界镜像问题a.无限大导体平面上点电荷镜像31+qf=0解：边界条件：z＝0，假想导体平面不存在，在z＝0平面下面对称处放置－q，则z＝0平面仍为零等位面。故可用q和其镜像电荷－q来代替原来的边界条件4－2、设无限大导体平面z＝0附近，有一点电荷q，与平面距离为h，导体平面是等位面，假设其电位为零，求上半空间的电位。32导体则上半空间任意点P（x，y，z）处的电位为：3334导体即感应电荷总量等于镜像电荷总量。也就是说，镜像法是完全合理的。35qABO例2、相交成直角的两个导体平面AOB附近有一个点电荷，求q所在区域电位（导体平面电位为0）。

7、解：为满足导体边界为0电位的条件，需要三个镜像点电荷-q、q、-q。P2P336p点电位P2P3皆位于以点电荷的矢径为半径的圆上。37b)无限大不同介质平面上点电荷的镜像不同介质中的电位由点电荷q和介质分界面的边界条件所决定；将不同的介质空间等效为两个相同的介质空间；分别用镜像法求出有效空间的电位，并使原边界条件满足。e0eq(0,0,h)xzozz=+38求介质的电位,可用放在z<0、假想填充介质中镜像电荷等效介质分界面条件；同样，求的电位，用放在z>0、假想填充介质中的镜像电荷等效介质分界面条件。根据边界条件确定出镜像电荷和。e0eq(0,0,h)xzozz=

8、+39e0