EMF14静态场边值问题

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1、第14讲静态场边值问题授课内容唯一性定理镜像法静态场：静电场、恒定电场和恒定磁场等不随时间变化的场场计算的两大类问题已知场量分布求与之相应的场源分布已知场源分布求该源产生的场量分布1静态场边值问题的基本概念静态场计算方法在工程上常遇场源分布常较复杂，而且场域往往是由某种边界条件限制的、形状不一定规则的有限区域。为此，在场论中引入了辅助计算量—位函数。内已知外未知边界场已知数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这些初始值和边界

2、值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解场域的场（一定边界条件下微分方程的解）的问题，称为边值问题。边值问题边值问题求解方法AnalysisofBoundary-ValueProblems自然边界条件（无界空间）周期边界条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，如静态场问题可以归结为求解满足三类边值的泊松方程（或拉普拉斯方程）的所谓边值问题，它们分别称为狄里赫利问题，纽曼问题和

3、混合问题。第一类边值：已知场域边界上位函数第二类边值：已知场域边界上位函数的法向导数（对于静电场，相当于给出了电荷在导体表面的面电荷分布密度。）第三类边值：已知场域一部分边界上的位函数和其余部分边界上的位函数的法向导数为什么说静电场第二类边界条件与导体上给定电荷分布的条件是等价的？内已知例：（第一类边值问题）（第三类边值问题）例：对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大

4、的变化。解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，因此，解的稳定性具有重要的实际意义。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可以证明电位微分方程解也是惟一的。【唯一性定理】如果给定V中的电荷分布、边界S上的电位值或其方向导数值或S中一部分面上给定电位值，其余部分给定电位法向导数值，则V中的电位唯一确定。证明：设场中任意一点有两组解，都满足Possion方程则电位差满足

5、Laplace方程电位差满足齐次边界条件（第一类）（第二类）（第三类）应用Green第一定理令：则显然，在给定三类边界条件中任何一类的情况下，上式的右边都为零。左边第一项也为零，得若为第一类边界条件，在既满足场域，又满足边界条件的情况下，C＝0。若为第二类边界条件，当选择相同的电位参考点时，C＝0.对第三类混合边值问题，只要将闭合面积分写成各部分表面的面积分之和，对每一部分采用上述的方法处理，结论相同。唯一性定理给出了定解的充分必要条件，虽然没有给出具体的求解方法，但对于求解有着重要的指导意义：【唯一

6、性定理的指导意义】一方面，我们在构造求解方程时，可以依据唯一性定理设置必要的边界条件；另一方面，如果我们利用某种方法获得了解，则可以肯定解是唯一的。即使采用不同的方法获得了不同形式的解，也可以肯定这些解是等价的。2.镜像法实质:是以一个或几个等效电荷（或电流）代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。依据：惟一性定理。因此，等效电荷（或电流）的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静态场没有改变，这是确定等效电荷（或电流）的大小及其位置的依

7、据。这些等效电荷（电流）通常处于镜像位置（待求场域之外），因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。关键：确定镜像电荷的个数、大小及其位置。局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷（或电流）才有可能确定其镜像电荷。（1）点电荷与无限大的导体平面。介质导体qrP介质qrPhh介质以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为的空间，则空间任一点P的电位由q及q'共同产生，即考虑到无限大导体平面的电位为零，求得边值问题：（导板及无穷远处）（除q所在点外的区域）（S为

8、包围q的闭合面）平面导体的镜像上半场域边值问题：（除q所在点外的区域）（导板及无穷远处）（S为包围q的闭合面）电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。电场线等位线z电荷守恒：当点电荷q位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异