06 静态场边值问题解法

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1、电磁场与电磁波Ch5静态场边值型问题的解法张欣zhangxin@bupt.edu.cn北京邮电大学1提纲静电场边值问题概况唯一性定理一维场的求解直接积分二维场的求解分离变量法镜像法北京邮电大学215.1静电场边值问题概况研究静电场边值问题的目的分析场的各种参数，指导工程实践静电场是基础其方法和结论，在研究一部分高频场、辐射、散射等问题时，有重要的应用北京邮电大学35.1静电场边值问题概况静电场有两类问题：已知电荷分布，求电场强度和电位（分布型问题）已知边界上的电位、或电位的法向导数、电荷等条件，求解电场和电位的空间分布（边值型问题）第一类：已知

2、位第二类：已知位的法向导数（对于导体边界，即已知电荷面密度）混合边值问题通常为二阶偏微分方程需要寻找解析解解析解得不到时，采用数值计算法对于有些特殊的问题，镜像法可以简化处理对称边界北京邮电大学425.2解的唯一性定理对于微分方程，当解的形式不唯一时，只要是满足全部边界条件的拉氏方程或泊松方程的解，就是唯一确定的解这里的边界条件指的是全部的边界条件解的形式可以不唯一，但对应的分布是唯一的2拉普拉斯方程（场空间无电荷）：02泊松方程（场空间有电荷分布）：D或0EE02222

3、222Exyz北京邮电大学55.2解的唯一性定理为什么是唯一的？拉氏方程体现了矢量的散度和旋度再加上边界条件时，就可以唯一的确定矢量S证明唯一性定理混合边界条件下SnS1n给定电位的面：SSS1k2给定电位法向导数的面Sk1SSkn1SkV采用反证法北京邮电大学635.2解的唯一性定理（证明）反证法：假设所考察体积V空间中电位不唯一，有两个解（可以为0）：21S令20122SSn1n则满足拉氏方程：2S020Sk1Sk下面利用格林V第一恒等式推导

4、北京邮电大学75.2解的唯一性定理（格林第一恒等式）利用格林第一恒等式，目的是考察：00?上式中蕴涵了两类边界条件上式为散度式，考虑闭合面积分利用矢量恒等式：ffAAAf2则：00000020VS0000ddVS00SS0dn拉氏而：方程VS00ddVV00SV00d＝？北京邮电大学845.2解的唯一性定理（证明）利用格林第一恒等式0SS

5、00ddS0Sn000ddSSdS000nnnSS11~~kkSSnS001212（电位给定，第r一类边值）r12r0120nnn00d0SS（电位法向导数给定，2第二类边值）00ddVV0VV北京邮电大学95.2解的唯一性定理（证明）由上面可知2d0V0const0012V而在边界上，电位给定，只能有const=01212北京邮电大学1055.3直接积分求解一维场，例1例1：同心金属球如

6、图所示，内导体电压b为U，外导体接地，U其间为理想介质，求球内的电位和电场分a布。要求用拉氏方程求解20北京邮电大学115.3直接积分求解一维场，例1z解：er选用球坐标系e充分利用对称性，变量维数越少越好reO分析可知电位只与r有关yFrF,,r2211d2dxrr022rrrrrddrer2ddc1erc12ddrrrecc11drcc222rr北京邮电大学1265.3直接积分求解一维场，例1z解：er确定方程中的常数erecO1Uc2

7、ya依靠边界条件c01c2xberabUec1baaUec2ab电位求出后取负梯度得电场强度。北京邮电大学135.3直接积分求解一维场，例1*若介质分为两层，如b图所示？方程？Ucc112c21ar需要几个边界条件？c3c24r21U01ra2rb1212rcrcDD12nn11EErr2212rr北京邮电大学1475.3直接积分求解一维场，例2求同轴电缆的场分布，如图所示e坐