静态场中的边值问题

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1、4.1问题的分类4.2惟一性定理4.3直角坐标中的分离变量法4.5镜像法第4章静态场中的边值问题解边界值问题的方法：1、理论计算方法◆解析法◆近似计算法数值计算法图解法2、场的实验研究方法：◆直接测量法◆电模拟法4.1问题的分类一、分布型问题(1)已知场源分布，求解电场或磁场。(2)已知电场（或电位）、磁场分布，反推场源。二、边值型问题边值型问题究竟是什么？边值型问题都有哪些类型？怎样保证边值型问题有且仅有惟一解？（惟一性定理）静态场边值型问题：已知场量（或其位函数）在场域边界上的值（含法向导数），求解

2、场域内部任一点的场量。定解条件=泛定方程+边界条件+初始条件。衔接条件：在场域内，媒质参数必须是已知的，但允许它们突变（即存在不同媒质的分界面）或渐变（是空间坐标的函数）。在不同媒质分界面的两侧，场量（或其位函数）应满足边值关系，在偏微分方程定解问题中常被称为衔接条件。静态场边值问题解满足3个条件：(1)对于场域的内点（既非边界点又不在媒质分界面上的点）泛定方程成立；(2)在不同媒质分界面的两侧，场量（或位函数）边值关系（衔接条件）成立；(3)对于场域的边界点，场量（或其位函数）符合给定的边界条件。边值

3、型问题的分类方法（以电位函数的泊松方程为例）第一类边值问题的特征：已知全部边界上任一点的电位。为狄里赫利问题（Dirichlet）。第二类边值问题的特征：已知全部边界上任一点的电位的法向导数。称为诺埃曼问题(Neumann)。第三类边值问题的特征是：已知部分边界上任一点的电位和另一部分边界上任一点的电位的法向导数。称为混合边值问题(Robbin)。4.2惟一性定理惟一性定理：在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解唯一【反证法】假如存在两个满足相同边界条件的不同解和令在场域内，U满足拉普拉斯方程在

4、边界上，要么（第一类边值问题），要么（第二类边值问题）。令格林第一恒等式（1-157）中的，即因为，并且U（或U的法向导数）沿处处等于0，上式简化为即U梯度等于0。故在场域内，U=常数。对于第一类边值型问题，电位不可跃变，故在场域内，U=0，从而。故对于第一类边值问题，电位的解惟一对于第二类边值型问题，U未必是0，可以是任一常数，但对于电场强度和电位移矢量来说，解仍然是惟一的，因为常数的梯度恒等于0。说明：①第一、二、三类边值问题是适定的因为它们对边界条件提出的要求既是充分的也是必要的。求解时先判断问题

5、的边界条件是否足够，当满足必要条件时，则可断定解是唯一的。用不同方法得到的形式上不同的解是等价的。②定理说明：只要能够找一个满足边界条件的位函数，且这个位函数又满足拉普拉斯方程，则这就是所求的解。4.3直角坐标中的分离变量法◆分离变量法：通过偏微分方程求解边值问题。◆基本思想：1.要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合，或者至少分段地与坐标面相合；2.在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，其中的每个函数分别仅是一个坐标的函数。3.通过分离变量将偏微分方程化为常微分方程求解。◆二维问题的

6、分离变量过程：若边界面形状适合用直角坐标表示，则在直角坐标系中求解，以二维的拉普拉斯方程为例，求解电位函数，设，电位函数满足（4-1）待求的电位函数用二个函数的乘积表示为（4-2）将式（4-2）代入式（4-1），得用除上式，得（4-3）上式成立的唯一条件是二项中每项都是常数，故有（4-4）（4-5）为分离常数，是待定的常数，须满足（4-6）1.当时方程（4-4）和(4-5)的解为方程（4-1）的解为(4-7)2.当,时,方程（4-5）和(4-6)的解为(4-8)(4-9a）或所以(4-10a)或(4-1

7、0b)3.当,时，同理可得（4-11a）（4-11b）综上所述：a：当时，偏微分方程（4-1）的通解为(4-12a）或（4-12b）b.当时，偏微分方程（4-1）的通解为（4-13a）或（4-13b）拉普拉斯方程的解：然后根据所给定的边界条件定出满足所有边界条件的具体问题的解（包括待定常数和分离常数）。4.5镜像法◆镜像法的基本思想：1.电场区域外某个位置上，有一假想镜像电荷。2.电荷的引入不改变所求电场区域的场方程，镜像电荷产生的电场与导体面(或介质面)上的感应电荷(或极化电荷)产生的电场等效。3.镜

8、像电荷代替导体面(或介质面)上的感应电荷(或极化电荷)后：首先所求电场区域内的场方程不变，其次给定的边界条件仍满足，由静电场的惟一性定理：用镜像电荷代替后所解得的电场必是唯一正确的解。◆镜像法的实质：将静电场的边值问题转化为无界空间中计算电荷分布的电场问题。在区域外的假象电荷（或电流）称为镜像电荷（或电流），大多是一些点电荷或线电荷（二维平面场情况）。镜像法往往比分离变量法简单，容易写出所求问题的解，但它只能用于一些特殊的边界情况。应用镜像