高考数学一轮复习专题10.4椭圆双曲线抛物线的定义及其运用练习（含解析）

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1、第四讲椭圆双曲线抛物线的定义及其运用【套路秘籍】---千里之行始于足下一．椭圆的定义1.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于

2、F1F2

3、）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M

4、

5、MF1

6、＋

7、MF2

8、＝2a}，

9、F1F2

10、＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a

11、点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．（2）以椭圆＋＝1（a>b>0）上一点P（x0，y0）（y0≠0）和焦点F1（－c,0），F2（c,0）为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则①

12、PF1

13、＋

14、PF2

15、＝2a.②4c2＝

16、PF1

17、2＋

18、PF2

19、2－2

20、PF1

21、

22、PF2

23、·cosθ.③S△PF1F2＝

24、PF1

25、

26、PF2

27、·sinθ，当

28、y0

29、＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值为bc.④焦点三角形的周长为2（a＋c）．二．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值

30、等于常数（小于

31、F1F2

32、）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M

33、

34、

35、MF1

36、－

37、MF2

38、

39、＝2a}，

40、F1F2

41、＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.（1）当2a<

42、F1F2

43、时，P点的轨迹是双曲线；（2）当2a＝

44、F1F2

45、时，P点的轨迹是两条射线；（3）当2a>

46、F1F2

47、时，P点不存在．三.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．【修炼套路】

48、---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一椭圆的定义及其运用【例1】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上．（1）若点P到焦点F1的距离等于1，则点P到焦点F2的距离为__________；（2）过F1作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为__________；（3）若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．（4）设P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．【解析】（1）由椭圆的标准方程可知：，，故，，由椭圆的定义可得

49、PF1

50、

51、＋

52、PF2

53、＝2a，又

54、PF1

55、＝1，所以

56、PF2

57、＝4－1＝3（3）由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝1，

58、F1F2

59、＝2c＝2．在△PF1F2中，由余弦定理，得

60、PF2

61、2＝

62、PF1

63、2＋

64、F1F2

65、2－2

66、PF1

67、·

68、F1F2

69、·cos120°，即

70、PF2

71、2＝

72、PF1

73、2＋4＋2

74、PF1

75、．①由椭圆定义，得

76、PF1

77、＋

78、PF2

79、＝4，即

80、PF2

81、＝4－

82、PF1

83、．②将②代入①解得

84、PF1

85、＝．所以S△PF1F2＝

86、PF1

87、·

88、F1F2

89、·sin120°＝××2×＝，（4）由椭圆方程知，a2＝4，b2

90、＝3，∴c2＝1，∴c＝1，2c＝2.在△PF1F2中，

91、F1F2

92、2＝

93、PF1

94、2＋

95、PF2

96、2－2

97、PF1

98、·

99、PF2

100、cos60°，即4＝

101、PF1

102、2＋

103、PF2

104、2－

105、PF1

106、·

107、PF2

108、.①由椭圆的定义得4＝

109、PF1

110、＋

111、PF2

112、，即4＝

113、PF1

114、2＋

115、PF2

116、2＋2

117、PF1

118、·

119、PF2

120、.②②－①，得3

121、PF1

122、·

123、PF2

124、＝12，所以

125、PF1

126、·

127、PF2

128、＝4，所以S△F1PF2＝

129、PF1

130、·

131、PF2

132、·sin60°＝【套路总结】1.善于利用椭圆的定义进行灵活运用，看到焦点可以考虑用定义，条件不

133、够，定义来凑。2.求双曲线、椭圆中的焦点三角形△PF1F2面积的方法类型一：当已知角是、①根据双曲线、椭圆的定义求出

134、

135、PF1

136、－

137、PF2

138、

139、＝2a、

140、PF1

141、+

142、PF2

143、＝2a；②利用余弦定理表示出

144、PF1

145、、

146、PF2

147、、

148、F1F2

149、之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想方法求出

150、PF1

151、·

152、PF2

153、的值；④利用公式S△PF1F2＝×

154、PF1

155、·

156、PF2

157、sin∠F1PF2求得面积类型二：当有一边垂直于x轴时：利用公式S△PF1F2＝×

158、F1F2

159、×

160、yP

161、求得面积【举一反三】1．如图所示，F为双曲

162、线C：=1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则

163、P1F

164、+

165、P2F

166、+

167、P3F

168、﹣

169、P4F

170、﹣

171、P5F

172、﹣

173、P6F

174、的值是（　　）A．9B．16C．18D．27【答案】C【解析】设右焦点为F′，∵双曲线C上的点Pi与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称∴P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称∴

175、FP1

176、=

177、F/P6

178、，

179、FP2

180、=

181、F′P5

182、，

183、FP3

184、=

185、F/P