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时间:2019-10-02
《高考数学一轮复习专题10.6椭圆双曲线抛物线的离心率与渐进线练习(含解析)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六讲椭圆双曲线抛物线的离心率与渐进线【套路秘籍】---千里之行始于足下求离心率的三种方法(1)直接求出a,c来求解e.通过已知条件列方程组,解出a,c的值.(2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解.(3)通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.注意:在解关于离心率e的二次方程时,要注意利用不同曲线的离心率范围进行根的取舍,否则将产生增根.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》,努力请从今日始考向一椭圆的离心率【例1】(1)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、
2、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为。(2)若将(1)中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°,∠PF1F2=45°”,求C的离心率.(3)若将(1)中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“C上存在点P,使∠F1PF2为钝角”,求C的离心率的取值范围.【套路总结】(1)若可求得a,c,则直接利用e=得解(2)若已知a,b,可直接利用e==得解(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且p≠0)
3、,则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解【答案】(1)(2)(3)【解析】解法一:由题意可设
4、PF2
5、=m,结合条件可知
6、PF1
7、=2m,
8、F1F2
9、=m,故离心率e=====.解法二:由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以
10、PF2
11、=.又由∠PF1F2=30°可得
12、F1F2
13、=
14、PF2
15、,故2c=·,变形可得(a2-c2)=2ac,等式两边同除以a2,得(1-e2)=2e,解得e=或e=-(舍去).(2)在△PF1F2中,∵∠PF1F2=45°,∠PF2F1=75°,∴∠F1PF
16、2=60°,设
17、PF1
18、=m,
19、PF2
20、=n,
21、F1F2
22、=2c,椭圆的长轴长为2a,则在△PF1F2中,有==,∴=,∴e====.(3)由题意,知c>b,∴c2>b2.又b2=a2-c2,∴c2>a2-c2,即2c2>a2.∴e2=>,∴e>.故C的离心率的取值范围为.【举一反三】1.设F1,F2是椭圆E:的左、右焦点,P为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则椭圆E的离心率为___________;【答案】【解析】如图,设直线交x轴于D点,因为是底角为的等腰三角形,则有,因为,所以,,所以,即,即,即,所以椭圆E的离心率2
23、.如图,在平面直角坐标系xOy中,A1,A2,B1,B2为椭圆的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为___________.【答案】【解析】设F(c,0),则由题意,易得直线A1B2,B1F的方程分别为,将上述两个方程联立,求解可得点T的坐标为T,则M又点M在椭圆上,所以,整理得两边同时除以,可得,解得或(舍去)3.已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l
24、与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为。【答案】【解析】设M(-c,m),则E,OE的中点为D,则D,又B,D,M三点共线,所以=,所以a=3c,所以e=.4.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m,(m>0),则此椭圆的离心率为。【答案】【解析】由题意,得椭圆的标准方程为+=1,∴a2=,b2=,∴c2=a2-b2=,∴e2==,即e=..考向二双曲线的离心率【例2】(1)已知点(2,3)在双曲线C:(a>0,b>0)上,若双曲线C的焦距为4,则它的离心率_______________;(2
25、)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率_______________;(3)已知双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在点P使得,则该双曲线的离心率的取值范围是_______________.【答案】(1)2;(2);(3)【解析】(1)由点(2,3)在双曲线C可得①.又焦距为4,所以c=2②,联立①②,解得,,所以双曲线C的离心率(2)当焦点在x轴时,由题意可得当焦点在y轴时,由题意可得(3)由正弦定理可得,
26、即,由e>1可得点P在双曲线的右支上.又,则,即,因为点P不在x轴上,所以,即,即,结合解得【举一反三】1.设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且
27、AF1
28、=3
29、AF2
30、,则双曲线的离心率等于.【答案】【解析】由,由∠F1AF2=
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