高考数学一轮复习专题10.8椭圆双曲线抛物线的弦长练习（含解析）

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1、第八讲椭圆双曲线抛物线的弦长【套路秘籍】---千里之行始于足下1.圆锥曲线的弦长公式设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则2.求解弦长的四种方法（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．（2）联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．（3）联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到（x1－x2）2或（y1－y2）2，代入两点间的距离公式．（4）当弦过焦点时，

2、可结合焦半径公式求解弦长．【注意】利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．　【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一直线与椭圆的弦长【例1】（1）如图，已知斜率为1的直线l过椭圆C：的下焦点，交椭圆C于A，B两点，求弦AB的长．（2）已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l的方程．(2)求直线l被椭圆截得的弦长．【答案】见解析【解析】（1）设A，B的坐标分别为A(x1，y1)

3、，B(x2，y2)由椭圆方程知，，所以所以椭圆的下焦点F的坐标为F(0，－2)，故直线l的方程为y＝x－2将其代入，化简整理得，所以，所以(2)解法一　根与系数关系法由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0．将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0．所以x1＋x2＝＝8，解得k＝－．所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)即x＋2y－8＝0．解法二：点差法设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)

4、，所以两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0．又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，即k＝－．所以直线l的方程为x＋2y－8＝0．【套路总结】一.解决直线与椭圆的交点问题常常利用设而不求和整体代入的方法，解题步骤为：设点：设直线与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)；联立：联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x或y的一元二次方程；韦达：利用根与系数的关系设而不求；④代入：利用题干中的条件转化为x1＋x2，x1x2或y1＋y2y1y2，进而求解二.利用“点差

5、法”求弦长（一）前提：已知弦长中点求弦长所在直线方程斜率-----点差法（二）解题思路设点：设直线与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)代入：将两个交点分别代入椭圆方程得到两道方程，两道方程相减化简：相减后整理成两点求斜率的形式，当焦点在x轴时，焦点在y轴时【举一反三】1.椭圆x236+y29=1和点P4,2，直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点．（1）当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度；（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．【答案】(1)310;(2)x+2y-8=0.【解析】(1

6、)直线l的方程为y-2=12(x-4)，即为y=12x，代入椭圆方程x2+4y2=36，可得x=±32，y=±322．即有

7、AB

8、=(62)2+(32)2=310；(2)由P的坐标，可得1636+49<1，可得P在椭圆内，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1236+y129=1，①x2236+y229=1，②由中点坐标公式可得x1+x2=8，y1+y2=4，③由①-②可得，(x1-x2)(x1+x2)36+(y1-y2)(y1+y2)9=0，④将③代入④，可得kAB=y1-y2x1-x2=-12，

9、则所求直线的方程为y-2=-12(x-4)，即为x+2y-8=0．2．已知椭圆C:x23+y2=1内有一条以点P(1,13)为中点的弦AB，则直线AB的方程为.【答案】3x+3y-4=0【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x22=1，y1+y22=1由A，B在椭圆上可得x123+y12=1，x223+y22=1,两式相减可得，(x1-x2)(x1+x2)3+(y1-y2)(y1+y2)1=0∴KAB=y1-y2x1-x2=-(x1+x2)3（y1+y2）=-23⋅23=-1直线AB的方程

10、为y-13=-1(x-1)即3x+3y-4=0.考向二直线与双曲线的弦长【例2】已知双曲线：.（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且，求实数的值；（2）过点作直线与双曲线交于不同的两点，若弦恰被点平分，求直线的方程.【答案】(1)m=±2(2)4x﹣y﹣2=0【解析】（Ⅰ）分别设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2）由，消y可得，x2﹣4mx+2（m2﹣1）=0，∴x1+x2=4m，x1•x2=2（m2﹣1），∴

11、x1