2020版高考数学第十二章复数、算法、推理与证明第4讲直接证明与间接证明分层演练理新人教A版

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1、第4讲直接证明与间接证明1．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.2．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是(　　)A．x2>2　　　　　　　　　B．x

2、2>4C．x2>0D．x2>1解析：选C.因为x>0，所以要证<1＋，只需证()2<，即证0<，即证x2>0，因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立．3．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(　　)A．lg(1＋a2)>0　　　　　　B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2D.<解析：选B.在B中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．4．在△ABC中，sinAsinC＜cosAcosC，则△ABC一定是(　　)A．锐角三角

3、形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选C.由sinAsinC＜cosAcosC得cosAcosC－sinAsinC＞0，即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是锐角，从而B＞，故△ABC必是钝角三角形．5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)

4、2)，则f(x1)＋f(x2)<0.6．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．解析：“x≠a且x≠b”的否定是“x＝a或x＝b”，因此应假设为x＝a或x＝b.答案：x＝a或x＝b7．(2019·福州模拟)如果a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是__________．解析：a＋b＞a＋b，即(－)2(＋)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b8．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与c

5、n＋1的大小关系为________．解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，所以cn随n的增大而减小，所以cn＋10，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.10．已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x

6、)与函数y＝g(x)的图象在交点(0，0)处有公共切线．(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤g(x)．解：(1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，由题意得解得a＝0，b＝1.(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x>－1)．h′(x)＝－x2＋x－1＝.h(x)在(－1，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．h(x)max＝h(0)＝0，所以h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．1．已知a，b，c∈R，若·>1且＋≥－2，则下列结论成立的是(　　)A．a，b，c同号B．b，c同号，a与它们异号C

7、．a，c同号，b与它们异号D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定解析：选A.由·>1知与同号，若>0且>0，不等式＋≥－2显然成立，若<0且<0，则－>0，－>0，＋≥2>2，即＋<－2，这与＋≥－2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同号．2．在等比数列{an}中，a10，则11，此时，显然数列{an}是递增数列，若a1<0，则1>q>q2，即0<

8、q<1，此时，数列{an}也是递增数列，反之，当数列{an}是递增