高考数学第十二章复数、算法、推理与证明4第4讲直接证明与间接证明练习理（含解析）

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1、第4讲直接证明与间接证明[基础题组练]1．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：

2、是(　　)A．a－b>0　　　　　　　　　B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0解析：选C.0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.故选C.3．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(　　)A．lg(1＋a2)>0　　　　　　B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2D.<解析：选B.在B中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2

3、＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．4．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　　)A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析：选A.因为≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，所以f≤f()≤f，即A≤B≤C.5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(

4、x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)b>0，则①<；②ac2>bc2；③a2>b2；④>，其中正确的序号是________．解析：对于①，因为a>b>0，所以ab>0，>0，a·>b·，即>.故①正确；当c＝0时，②不正确；由不等式的性质知③④正确．

5、答案：①③④8．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，所以cn随n的增大而减小，所以cn＋10，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)

6、(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.10．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8.证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，所以－1＝＝>，①－1＝＝>，②－1＝＝>，③又x，y，z为正数，由①×②×③，得>8.[综合题组练]1．已知a，b，c∈R，若·>1且＋≥－2，则下列结论成立的是(　　)A．a，b，c同号B．b，c同号，a与它们异号C．a，c同号，b与它们异号D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定解析：选A.由·>1知与同号，若>0且>0，不等式＋≥－2显然成立，若<0且<0，则

7、－>0，－>0，＋≥2>2，即＋<－2，这与＋≥－2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同号．2．在等比数列{an}中，“a10，则11，此时，显然数列{an}是递增数列，若a1<0，则1>q>q2，即0

8、增”的充要条件．3．(创新型)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③