2020版高考数学一轮复习 第11章 算法复数推理与证明 第4讲 直接证明与间接证明讲义 理(含解析)

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1、第4讲 直接证明与间接证明[考纲解读] 1.掌握直接证明的两种基本方法:分析法与综合法.(重点)2.能够用反证法证明问题,掌握反证法的步骤:①反设;②归谬;③结论.(难点)3.综合法、反证法证明问题是高考中的一个热点,主要在知识交汇处命题,如数列、不等式等.[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考中的一个热点.预测2020年将会以不等式、立体几何、数列等知识为载体,考查分析法、综合法与反证法的灵活应用,题型为解答题中的一问,试题难度中等.1.直接证明续表2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定

2、义:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;②归谬——根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.1.概念辨析(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.(  )(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.(  )(3)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.(  )(4)在解决问题时,常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.

3、(  )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.小题热身(1)要证明+<2,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是(  )A.综合法B.分析法C.类比法D.反证法答案 B解析 用分析法证明如下:要证明+<2,需证(+)2<(2)2,即证10+2<20,即证<5,即证21<25,显然成立,故原结论成立.用综合法证明:因为(+)2-(2)2=10+2-20=2(-5)<0,故+<2.反证法证明:假设+≥2,通过两端平方后导出矛盾,从而肯定原结论.从以上证法中,可知最合理的是分析法.故选B.(2)命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明

4、:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”过程应用了(  )A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法答案 B解析 因为证明过程是“从左到右”,即由条件出发,经过推理得出结论,属于综合法.故选B.(3)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要作的假设是(  )A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案 A解析 因为

5、“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要作的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.故选A.题型 分析法的应用(2019·长沙模拟)已知函数f(x)=tanx,x∈,若x1,x2∈,且x1≠x2,求证:[f(x1)+f(x2)]>f.证明 要证[f(x1)+f(x2)]>f,即证明(tanx1+tanx2)>tan,只需证明>tan,只需证明>.由于x1,x2∈,故x1+x2∈(0,π).所以cosx1cosx2>0,sin(x1+x2)>0,1+cos(x1+x2)>0,故只需证明1+cos(x

6、1+x2)>2cosx1cosx2,即证1+cosx1cosx2-sinx1sinx2>2cosx1cosx2,即证cos(x1-x2)<1.由x1,x2∈,x1≠x2知上式显然成立,因此[f(x1)+f(x2)]>f.条件探究 举例说明中“f(x)”变为“f(x)=3x-2x”,试证:对于任意的x1,x2∈R,均有≥f.1.分析法证明问题的策略(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想.(2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法证明这个中间结论,从而使原命题得证.2.分析法的适用范围及证题关

7、键(1)适用范围①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接.②证明过程中所需要用的知识不太明确、具体.③含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导.(2)证题关键:保证分析过程的每一步都是可逆的.                   已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.求证:+=.证明 要证+=,即证+=3,也就是+=1,只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),需证c2+a2=ac+b2,又△ABC三内角A,B,C成等差数列,故B=60°,由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c

8、2+a2-ac,故c2+a2=ac+b

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