2020版高考数学第十二章复数、算法、推理与证明4第4讲直接证明与间接证明新题培优练文新人教A版

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1、第4讲直接证明与间接证明[基础题组练]1.(2019·衡阳示范高中联考(二))用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”的正确假设为(  )A.自然数a,b,c中至少有两个偶数B.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a,b,c都是奇数D.自然数a,b,c都是偶数解析:选B.“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数,其否定是“自然数a,b,c均为奇数或自然数a,b,c中至少有两个偶数”.2.分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明<1+时,索的因是(  )A.x2>2         

2、B.x2>4C.x2>0D.x2>1解析:选C.因为x>0,所以要证<1+,只需证()2<,即证0<,即证x2>0,显然x2>0成立,故原不等式成立.3.设a=-,b=-,c=-,则a、b、c的大小顺序是(  )A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b解析:选A.因为a=-=,b=-=,c=-=,且+>+>+>0,所以a>b>c.4.在△ABC中,sinAsinC<cosAcosC,则△ABC一定是(  )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析:选C.由sinAsinC<cosAcosC得cosAcosC-sin

3、AsinC>0,即cos(A+C)>0,所以A+C是锐角,从而B>,故△ABC必是钝角三角形.5.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设为________.解析:“x≠a且x≠b”的否定是“x=a或x=b”,因此应假设为x=a或x=b.答案:x=a或x=b6.(2019·福州模拟)如果a+b>a+b,则a,b应满足的条件是__________.解析:a+b>a+b,即(-)2(+)>0,需满足a≥0,b≥0且a≠b.答案:a≥0,b≥0且a≠b7.已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.证明:

4、2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).因为a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,即2a3-b3≥2ab2-a2b.8.已知四棱锥SABCD中,底面是边长为1的正方形,又SB=SD=,SA=1.(1)求证:SA⊥平面ABCD;(2)在棱SC上是否存在异于S,C的点F,使得BF∥平面SAD?若存在,确定F点的位置;若不存在,请说明理由.解:(1)证明:由已知得SA2+AD2=SD2,所以SA⊥AD

5、.同理SA⊥AB.又AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以SA⊥平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S,C的点F,使得BF∥平面SAD.因为BC∥AD,BC⊄平面SAD.所以BC∥平面SAD,而BC∩BF=B,所以平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾,所以假设不成立.所以不存在这样的点F,使得BF∥平面SAD.[综合题组练]1.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定:(a,b)=(c,d),当且仅当a=c,b=d;运算“⊗”为:(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad);运

6、算“⊕”为:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),设p,q∈R,若(1,2)⊗(p,q)=(5,0),则(1,2)⊕(p,q)=(  )A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-4)解析:选B.由(1,2)⊗(p,q)=(5,0)得⇒所以(1,2)⊕(p,q)=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0).2.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值(  )A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负解析:选A.由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f

7、(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)

8、sinα与sinβ分别是sinθ与cosθ的等差中项与等比中项,则cos4β-4cos4α=________.解析:由题意得2sinα=

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