材料力学 第十一章 能量方法

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1、材料力学第十一章能量方法1第十一章能量方法§11–1变形能的普遍表达式§11–2卡氏定理§11–3莫尔定理(单位力法)2§11–1变形能的普遍表达式一、能量原理：二、杆件变形能的计算：1.轴向拉压杆的变形能计算：能量方法弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。32.扭转杆的变形能计算：3.弯曲杆的变形能计算：能量方法4能量方法变形能的大小与加载过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应位移的最终值；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。即：克拉贝依隆原

2、理三、变形能的普遍表达式：5细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。能量方法对于杆状构件：6四、变形能的特点：能量方法1.产生同一种基本变形的一组外力在杆内所产生的变形能，不等于各力分别作用时产生的变形能之和。7能量方法2.变形能的大小与加载过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应位移的最终值。互等定理：8能量方法互等定理：表明：第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功，这就是功的互等定理。9能量方法位移互等定理：如则10能量方法例如：外伸梁，在C点的力FP单独作用下截面的转角为θA=FPal/(6EI

3、)。求梁仅在A处的力偶矩M作用下C的挠度。又如： 为测定悬臂梁在砝码G作用在自由端B时，截面1、2、3、4、5的挠度，如图所示。现仅有一个挠度计（千分表），且限定只能安装一次，试问该如何测定。11MN[例1]图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）①求内力能量方法APROQMTAAPNBjTO12③外力功等于应变能②变形能：能量方法13[例2]用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？能量方法qCaaAP

4、Bf14§11–2莫尔定理(单位力法)求任意点A的位移fA。一、定理的证明：能量方法aA图fAq(x)图cA0P=1q(x)fA图bA=1P015莫尔定理(单位力法)二、普遍形式的莫尔定理能量方法。16三、使用莫尔定理的注意事项：④M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。⑤莫尔积分必须遍及整个结构。②M0——去掉主动力，在所求广义位移点，沿所求广义位移的方向加广义单位力时，结构产生的内力。①M(x)：结构在原载荷下的内力。③所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。能量方法17四、单位力的施加能量方法18[例3

5、]用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。解：①画单位载荷图②求内力能量方法BAaaCqBAaaC0P=1x19③变形能量方法BAaaC0P=1BAaaCqx()20④求转角，重建坐标系（如图）能量方法qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1d)()()()()(00)(00òò+=aBCaABxEIxMxMdxEIxMxM=021能量方法例13如图所示刚架，AB段受均布载荷q作用。试求A点的铅垂位移和B截面转角。22[例4]拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直

6、位移。解：①画单位载荷图②求内力能量方法51020A300P=60NBx500Cx151020A300Bx500C=1P023③变形能量方法()24能量方法例16一桁架如图，各杆EA相同，节点B承受集中力F和2F作用，求杆BC的转角。25能量方法1.用卡氏定理、摩尔积分法求图示梁中B点的挠度和C截面的转角，比较两种方法的特点。已知EI为常数。课堂练习26能量方法2.试用卡氏定理求图示刚架截面A的转角和截面C的铅垂位移。EI为已知常数。27能量方法3.试用卡氏定理求图示刚架C点两侧截面的相对转角。EI已知。28能量方法4.由杆系及梁组成的混合结

7、构如图所示。设FP、a、E、A、I均为已知。试求C点的垂直位移。29能量方法5.半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端作用扭转力偶矩Me。曲杆横截面为圆形，其直径为d。试用卡氏定理求B端的扭转角。30§11–3卡氏定理给Pn以增量dPn，则：1.先给物体加P1、P2、•••、Pn个力，则：2.先给物体加力dPn，则：一、定理证明能量方法dn31再给物体加P1、P2、•••、Pn个力，则：能量方法dnn=nPU¶¶d第二卡氏定理意大利工程师—阿尔伯托·卡斯提安诺(AlbertoCastigliano，1847～1884)32二、使用卡氏定理的注意

8、事项：①U——整体结构在外载作用下的线弹性变形能②Pn视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为Pn的函数③n为Pn作用点的沿Pn方向的变形。④当无与n对应的Pn