材料力学能量方法

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1、材料力学第十三章能量方法§13–1概述§13–2杆件应变能的计算§13–3应变能的普遍表达式§13–4互等定理§13–7单位载荷法莫尔积分§13–8计算莫尔积分的图乘法第十三章能量方法能量原理：弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即利用这种功能关系分析计算变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。§13–1概述杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存在杆内，这种能称为应变能（StrainEnergy），用“V”表示。应变能ΔllP已知:P、A、l、E§13–2杆件应变能的计算1.轴向拉压杆的变形能计算：aa4PP12PACB30°122.扭转杆的变形能计算：lml

2、mdxOT(x)+dT(x)T(x)dx3.弯曲杆的变形能计算：mlAqABdxlM（x）M(x)+dM(x)(+)用能量法求C点的挠度。梁的EI为已知。解：外力功等于应变能CaaAPBx1fCx2[例1]变形能与加载次序无关，只与外力和位移的最终值有关。§13–3变形能的普遍表达式1.物体受外力P1、P2、•••、Pn，n个力2.物体无刚性位移，外力作用点沿作用线方向的位移为：δ1、δ2、•••、δn3.物体的材料是线弹性的。采用等比例加载，则P1和δ1成正比，P2和δ2成正比，•••dnδ1δ2dnδ1δ2式中P可以是力偶，则对应的δ应为角位移应变能是否可以应用叠加法？P1ABP2

3、ABP1ABP2应变能是否可以应用叠加法？mPlmlPl如果各作用力产生的变形是相互独立的，则引起的变形能可以相互叠加。[例1]图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。APRPRj杆件组合变形时如何计算应变能？APjdxM(x)M(x)N(x)N(x)T(x)T(x)PCjBAR图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）APR[例13.1](P31)①求内力j③外力功等于应变能②变形能：§13–3互等定理ABP1ABP2δ11δ22ABP1P2ABP2P1功的互等定理ABP1P2当P1

4、=P2时当P1=P2时位移互等定理ABP1ABP2δ11δ22在1力作用下2力方向上的位移等于在2力作用下1力方向上的位移P1P2AA已知：图1中A点的水平位移为3mm，求：图2中A点的铅垂直位移？图1图2P1=P2在1力作用下2力方向上的位移等于在2力作用下1力方向上的位移求任意点A的位移fA。§13–7单位载荷法莫尔积分aA图fAq(x)图bA=1P0图cA0P=1q(x)fA在A点加单位力：先加单位力，再加原载荷：莫尔定理或莫尔积分(单位载荷法)二、莫尔定理的普遍形式三、使用莫尔定理的注意事项：⑤莫尔积分必须遍及整个结构。①M(x)：结构在原载荷下的内力。③所加广义单位力与所求广

5、义位移之积，必须为功的量纲。②——去掉主动力，在所求广义位移点，沿所求广义位移的方向加广义单位力时，结构产生的内力。④与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。已知：梁的抗弯刚度EI，用莫尔积分法求B点的垂直位移和转角。[例2]AlBq1AlB已知：梁的抗弯刚度EI，用能量法求B点的垂直位移和转角。[例3]AlBq1AlBxx()解：（1)垂直位移AlBxx1AlB()（2)转角用能量法求C点的挠度和转角。梁的抗弯刚度EI。解：①画单位载荷图②求内力BAaaC1AaaCBqx1x2x1x2[例4]③C点的挠度()④C点转角:BAaaC1x1x2（加单位力偶）用能量法求C点挠

6、度和B点转角。梁的抗弯刚度EI。解：①画单位载荷图②求内力BAaaC1x1x2[例5]AaaCBPx1x2③C点的挠度()④B点转角：（加单位力偶）BAaaC1x1x2()已知：各杆EI相等，用能量法求C点的水平位移。[例6]AalCBqP=qaACB1[例4]已知：各杆EI相等，用能量法求C点的水平位移。AalCBqP=qaACB1x1x2解：x1x2()已知：各杆EI相等，用能量法求C点的转角。[例7]AalCBqP=qaACB1[例4]已知：各杆EI相等，用能量法求C点的转角。AalBqP=qaAB1解：x1x2x1x2()已知：P，a，EA，求C点的水平位移。[例8]PABaa

7、DC1ABaaDC+P+P00+1000()解：已知：P，a，EA，求A、C两节点间的相对位移。[例13-13]123456789FABaaDCEaF11ABaaDCEaF123456789解：杆件编号NiliNili123456789(P53)表13.1杆件编号Ni102－F3F4－F5－F6F7F8－2F90(P53)表13.1杆件编号Ni102－F3F14－F5－F6F07F08－2F0900(P53)表13.1杆件编号Nili10a2－