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《【材料力学课件】能量方法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、11-1概述1.变形功与变形能弹性杆受拉力戶作用（图11-1）,当戶从零开始到终值£缓慢加载时，力尸在其作用方向上的相应位移也由零增至°1而做的功，称为变形功。MlW=fPdAJ°（n-1）与此同时弹性杆被拉长而具有做功的能力，表明杆件内储存了变形能。单位体积储存的丿、'、/：变能称为应变比能(11-2)整个杆件的变形能为如果略去拉伸过程屮的动能及其它能童的变化与损失，由能量守恒原理，杆件的变形能力在数值上应等于外力做的功必即有U=W（11-4）这是一个对变形体都适用的普遍原理称为功能原理，弹性固体变形是可逆的，即当外力解除后，弹性体将恢父其原来形状，释放出变形能而做功。但当超出了弹
2、性范I韦I,具有數性变形的固体，变形能不能全部转变为功，伏I为变形体产生數性变形时要消耗一部分能量，留下残余变形。2.应变余功与余能变形体受外力作用时的余功定义为Wc^^AdPH屮刃是外力从零增加到的终值，仿照功与变形能相等的关系，将余功相应的能称为余能,用%表示。余功与余能相等,即uc-wc可仿照前面，定义单位体积余应变能（或应变余能），称为余应变比能由此整个结构余应变能可写成Uc-yucdV应指出余功、余丿应变能、余应变比能具有功的呈纲，是变形体的另一能呈参数，但部没有具体的物理概念，只是常力所做的功减去变力所做功余下的那部分功。★请看动画演示f3・能量原理同体力学屮运用功与能
3、有关的基木原理统称为能量原理，由此发展出来的方法称为能量法。能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体系统的受力、应力与变形的原理与方法，是进一步学习固体力学的基础，也是当今应用茯广的有限元法求解力学问题的重要基础。4.本章内容木章只涉及能量原理在材料力学屮常用的部分内容，如：变形能、互等定理、卡氏定理、虚功原理、单位载荷法及图乘法，更为深入的，如最小势能原理，最小余能原理等变分原理，可参考其它专著。11-2杆件变形能计算杆件不同受力情况下的变形能。1・轴向拉伸或压缩线弹性杆件（图11-3）拉、圧杆应变比能崑二丄左二丄？一丄£护22E或2(11-5)则整个杆的变形能(11-6)Ncr
4、=—其中A,N是内力（轴力），A是截面面积，/是杆长。对于等截面杆，内力N=P=常数，用（11-1）,线弹性范
5、韦
6、内拉压杆的变形能u=w二丄(11-4)而杆的伸长（或缩短）EA,上式可改耳成1P2lu=w=——2EA(11-7)22.纯剪，扭转线弹性杆件（图11・4）线弹性材料纯剪应力状态杆件的应变比能为—工丄切22G或2(11-8)扭转杆的变形能孑2_——dAdx_(11-9)10二fp2dA其中Q加,T（X）是截血上的扭矩（内力）。对于受扭转力他矩加作川的等截面闘杆，如果杆件材料是线弹性的，则H扭转角mlm=OJp扭转力偶矩加所作的功为m2!则由(11-1),扭转变形能为m2/
7、204■(11-10)3・线弹性梁弯曲弹性弯曲杆的应变比能1<72M2(x)y2U=—(T£=——二T—2E2EI2(11-11)整个杆的变形能(11-12)I-[y2dA其屮,M(x)是梁截面的弯矩(内力矩)。对于弹性纯弯曲梁，其两端受弯曲力偶矩fn作用，加由零开始逐渐增加到最终值,则两端截面的相对转角为〃，则弯曲力偶矩所做的功为(图H-5)W=丄朋09=—2EI9则由(11-1)得杆的应变能YYT”1Q1m2/U-W-—mu22EI(11-13)对于纯弯曲梁M(X)=m=常数，上式亦可由(11-8)得到。4.广义力与广义位移对于拉压杆、扭转杆、弯曲杆的变形能可统一写成U=W=丄2
8、(11-14)式中P在拉伸时代表拉力，扭转时代表扭转力偶矩，弯曲时代表弯曲力偶矩，P称为广义力，而与之相应的位移称为广义位移，如拉伸时它是与卩相应的线位移&；扭转时，它是与扭转力偶矩相应的角位移°；弯曲时，它是与弯曲力偶矩相应的截面角位移0Q更一般地说，广义力矢量与相应广义位移矢量的点积等于功。5.非线性弹性材料的构件的变形功、变形能对于非线性弹性材料的构件(图11-1),(11-4)式仍成立，但力与位移关系，应力与应变关系应为由试验确定的曲线(图11-1),变形能与应变比能为【例11-1］轴线为半圆形平面曲杆如图11-6,作用于力点的集中力P垂直于轴线所在平面，求P力作用点的垂宜位
9、移。【解】杆的任一截面加位置可用圆心角"来表示，曲杆在P力作用下，加截面上有弯矩与扭炬为对于截面尺寸远小于半径斤的曲杆（常称小曲率曲杆），可按肓杆计算其变形能,微段内的变形能是整个曲杆变形能可在杆上积分，即P做的功旷为根据（11-D仃由此得【例11-2】图11-7简支梁屮间受集中力P作用，试导出横力弯1111变形能U1和剪切变形能U2,以矩形截面梁为例比较这两变形能的大小。【解】（1）变形能计算如图11-8所示，m-ri截面上内力为"3、Q3,则有弯111
