材料力学(能量方法)

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1、第十章第十章能量法能量法§10–1概述§10–2应变能杆件应变能计算§10–3应变能的普遍表达式§10–4互等定理§10–5虚功原理§10–6单位荷载法莫尔积分§10–7莫尔积分的图乘法§10§10––1概述1概述一、能量原理弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即V=Wε二、能量法利用功与能概念分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。三、重要性1．解题简单、适用性广；2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性问题；3．可求解静定与非静定问题§10§10––2应变能的计算2应变能的计算一、杆件应变能的计算1.轴向拉压杆的应变能1

2、F2LFLNV=W=F∆L=∆L=ε22EAEA应变能密度F2(x)nF2L1N或V=Niv=σεV=dx∑εε∫L2EAε2EA2i=1ii2.扭转杆的应变能2nT2L1TT(x)iiv=V=φ=dx或V=τγ∑εε2∫L2GIε2GI2Pi=1iPi3.弯曲杆的应变能纯弯曲时各截面的弯矩相等，M为常数。2MMlV=θ=ε22EI对细长梁，剪力引起的变形能与弯矩引起的变形能相比很小，通常可忽略不计。横力弯曲时，弯矩是x的函数。2MM(x)V=θ=dxε2∫L2EI4．广义力和广义位移⎧FN;⎪P=⎨T;1）广义力泛指力与力矩⎪⎧∆l;拉压时⎩M;⎪δ=⎨φ;扭转时

3、2）广义位移为广义力所直接产生的位移⎪⎩θ;弯曲时和转角，如力产生位移，力矩产生转角Pδ3）线弹性情况下，广义力与广义位移成线性关系Vε=W=24）非线性弹性材料的变形能ε1δ1V=Wv=σdε=Pdδε∫ε∫00§10§10––3应变能的普遍表达式3应变能的普遍表达式δ21.克拉贝依隆原理F1F3ò线弹性体δò无刚体位移δF231ò广义力F,…,F1nò力作用点沿力方向广义位移δ,…,δ1na等比例加载，引进参数β(0～1)，则加载过程中Fβ广义外力的中间值iδβ相应的广义位移中间值iF(δ)dβ广义力（位移）的相应增量iib外力在位移增量上作的功为dW=∑(Fi

4、β+Fidβ)•(δidβ)≈(∑Fiδi)βdβ外力总功11W=∫dW=(∑Fiδi)∫βdβ=∑(Fiδi)021c弹性体中的应变能Vε=W=∑(Fiδi)2克拉贝依隆原理：线弹性体应变能等于每一广义外力与其产生广义位移乘积二分之一的总和。2、杆件应变能的普遍表达式应变能与加载次序无关222F(x)T(x)M(x)NV=dx+dx+dxε∫L2EA∫L2GI∫L2EIP注：1)上式中忽略了剪切变形能；2)若为非圆截面杆，则扭转变形能中的Ip应改为I；t3)不同内力分量引起的变形能可以叠加，同一内力分量的变形能不能叠加。F1§10§10––4互等定理4互等定理11

5、、功的互等定理δ11FδV=11F2δ2ε11V=2ε222F2δ12V12=F1δ12δ222εF1在F2引起的位移上做功V=Fδε21221F2在F1引起的位移上做功应变能与加载次序无关V+V+V=V+V+Vε11ε22ε12ε11ε22ε21Fδ=Fδ功的互等定理1212122、位移互等定理由功的互等定理Fδ=Fδ221112若F1=F2可得δ21=δ12F作用点沿其方向因F引起的位移，等于F作用点沿F方向因F12221而引起的位移，就称为位移互等定理F1F2说明：1)位移应理解为广义位移；δδ21122)功的互等定理和位移互等定理只对线弹性材料和结构成立。§

6、10–6虚功原理1、实功与虚功实功是力在自身引起的位移上做的功；虚功是力在因其它因素（如温度或其它外力）所引起的位移上做的功。外力虚功，符号：δW；e内力虚功，符号：δW；i2、弹性体虚位移结构某点处满足其约束条件（边界条件和连续条件）时所发生的微小位移。微小位移小变形3、变形体的虚功原理：若变形体有满足变形协调及约束允许的虚位移，则满足静力平衡条件的任一力系在该变形体的虚位移上所作的总外力虚功等于总内力虚功（虚应变能），即δW=δWei****Fv+Fv+L+q(x)v(x)dx+L+Mϕ1122∫e11l*+Mϕ=[Fd(∆l)*+Tdϕ*+Mdθ*+Fdλ*]

7、e22∫Nsl变形体平衡的充要条件：对于任意的虚位移，外力虚功等于变形体积蓄的虚应变能(即内力虚功）。§10–7单位荷载（力）法莫尔积分1、单位荷载法原理求任意点沿某一方向的位移Δ在该点此方向施加单位载荷（广义）q(x)F2F=1设由单位载荷引起的刚架内力分别为ΔF(x),M(x),T(x),F(x)NsF1取原外载荷引起的位移即相对单位力为虚位移d(∆l),dθ,dφ,dλ刚架由虚位移原理可得：1⋅∆=F(x)d(∆l)+M(x)dθ+T(x)dφ+F(x)dλ∫N∫∫∫S单位荷载法的计算位移公式1⋅∆=F(x)d(∆l)+M(x)dθ+T(x)dφ+F(x)