材料力学 第十二章：能量方法

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1、12第十二章能量方法一、概述几何法：应力应变变形外力物理方程平衡方程几何方程（变形协调方程）1212能量法出发点：能量守恒与转换原理。弹性体承载时，加力点发生位移——荷载做功，W弹性体变形——储存变形能（应变能），U略去在该过程中的微量能量损耗，则由能量守恒与转换原理，得：外力功=变形能W=U由能量的观点出发建立荷载与变形间关系的方法称为能量方法。12二、变形能的计算1.轴向拉伸与压缩PABLΔL静载：荷载：0P缓慢加力点B的位移：δB=ΔL0ΔL缓慢12变力做功：PABLΔL此处为线弹性材料。12对于线弹性材料，变形

2、能为：——用外力功表示——用“内力”表示——用“变形”表示12ΔLΔlpPpO（1）弹性应变只与力或位移的终值有关，与加载过程和次序无关。PΔLdwd(Δl)12（2）在杆长范围内N、A不是常数时，一般的，有：如图：ΔLΔlpPpd(Δl)dwW(ΔL)O12（3）单位体积的变形能称为比能：12（4）变形能不能叠加。从数学观点看：U不是P或者ΔL的线性函数，所以不能叠加。从力学观点看：例：P1LΔL1EAP2LΔL2EA12P=P1+P2LΔL=ΔL1+ΔL2EA12所以，变形能不能叠加。12——加载过程中P1在P2产

3、生的位移上做的功——加载过程中P2在P1产生的位移上做的功12变形能不能叠加的力学本质：12一种荷载在另一种荷载引起的位移上做了功。2.扭转变形能对于线弹性材料，变形能为：——用外力功表示——用“内力”表示——用“变形”表示φTOT1φ112M0L同样，对于一般情况，有：123.弯曲变形能12MθOθM（1）纯弯曲MMLθρ12对于线弹性材料，变形能为：——用外力功表示——用“变形”表示——用“内力”表示（2）横力弯曲M(x)dx总变形能=剪切变形能+弯曲变形能12一般情况下剪切变形能很小，可以忽略不计：U弯曲变形能.

4、12综合轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲变形，一般地，有：U——广义力Δ——广义位移U可表成P的二次函数或Δ的二次函数，这也揭示了应变能不能叠加。12如果构件上有二种荷载，但其中任一种荷载在另一种荷载产生的位移上不做功，则这两种荷载单独作用时产生的变形能之和等于共同作用时产生的变形能。4.变形能的普遍表达形式12MdxNTMNT12这就是用“内力”表示的变形能的普遍表达式（即：克拉贝依隆原理）。注意：式中M、T、N为所有外力P1、P2、P3……共同作用引起的内力。12如图，无刚性位移的线弹性结构体，承受荷载P1、P2、P3

5、……设想采用比例加载：P1、P2、P3……缓慢的按相同的比例增加，弹性体始终保持平衡，而且各外力作用点的位移δ1、δ2、δ3也将按与外力相同的比例增加。P1P2P3δ1δ2δ3于是得到用“外力功”表示的变形能的普遍表达式：12注意：式中δ1、δ2、δ3为所有外力P1、P2、P3……共同作用引起的位移。例1求图示简支梁中点的挠度fC解：12PEIL/2L/212正号表示fC的方向与外力P的指向相同。三、余能12定义：余功δΔlp*PpWCOdp*δ*W余功无物理意义12定义：余能对于线弹性材料，显然有：——数值相同，概念

6、不同一般地，应变能总能表为位移的函数，余能总能表为荷载的函数。12四、卡氏定理1.卡氏第一定理（应变能法）当仅发生微小增量，其余位移无增量时：12另一方面，当仅发生增量时，将做功，从而导致应变能发生增量：（常力做功）12卡氏第一定理：弹性结构的应变能对某一位移的偏导数，等于与此位移相应的外力。（1）卡氏第一定理既适用于线性弹性，也适用于非线性弹性。（2）“相应”的意义：为集中力，则为与之同方向的线位移。为集中力偶，则为与之同转向的角位移。与位置相同。12例2图示结构，AB杆与BC杆的横截面积均为A应力-应变关系为：试求

7、AB杆和BC杆的轴力。解：节点B有两个未知位移：水平位移：δ1垂直位移：δ2计算应变能：CBAPL45°δ1δ2B’12也即，将应变能表为位移的函数：BAB’Dδ1C45°δ2δ1BB’DE12均匀变形：12由卡氏第一定理：12联立以上两式，求解可得：（拉伸）（压缩）12（拉）（压）（拉）（压）122.卡氏第二定理当仅有有增量，其余荷载不发生变化时：（即每个荷载是独立变化的。）另一方面，因为，余功的增量为：12——余能定理对于线弹性结构：12所以对于线弹性结构，有：——卡氏第二定理卡氏第二定理：对于线弹性体，应变能对某

8、一外力的偏导数，等于与此外力相应的位移。12（1）卡氏第二定理只能用于线弹性结构。（2）“相应”的意义：为集中力，则为与之同方向的线位移。为集中力偶，则为与之同转向的角位移。与位置相同。（3）应变能应写成外力的函数。12卡氏第二定理的具体应用：（1）梁（2）桁架（n根杆）12（3）轴（4）一般地12例3图示简支梁，求中点C的挠度。