材料力学B第13章能量方法课件.ppt

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1、DEPARTMENTOFENGINEERINGMECHANICSKUST第十三章能量方法储存在弹性体内的变形能等于外力所作的功，即:功能原理变形能外力所作之功13.1概述dx+dxdxFNFN13.2杆件应变能的计算1轴向拉伸或压缩对于整个杆件，变形能为应变能密度为应变能密度2纯剪切d相应扭转角dMxMx3扭转变形能对于无限小量dx，外力偶所做的功为整个圆轴的变形能为dq转角dxMMd4弯曲忽略剪力影响，无限小量dx的变形能为整个梁的变形能为应变能密度线弹性体的应变能等于每一外力与其相应位移乘

2、积的二分之一的总和。---克拉贝依隆原理Fi–广义力di–广义位移13.3应变能的普遍表达式整个杆件的应变能限制条件以上各式必须满足的条件*小变形*线弹性体例13-1如图所示，简支梁受均布载荷作用，载荷密度为q，梁长度为l，常值刚度EI，计算梁的变形能。wxlyABqx解:由梁的挠曲线方程为(1)例13-1计算梁的变形能。方法1先计算外力所做的功。载荷作的功为(2)wxlyABqx将方程（1）代入方程（2），得梁的变形能为(1)(2)方法2直接计算变形能FP力系FS力系…FP1FP2FPmP1P2

3、PmFS1FS2FSn…S1S2Sn13.4功的互等定理功的互等定理证明FS1FS2FSnS1S2SnSP1SP2SPmFP1FPmP1P2PmFP2FP力系FS力系…FP1FP2FPmP1P2PmPS1PS2PSn…S1S2SnFS2FS1FSnFP力系FS力系功的互等定理证明FS1FS2FSnSP1SP2SPmFP1FPmP1P2PmFP2…FP1FP2FPmP1P2PmPS1PS2PSn…S1S2SnFS2FS1FSn功的

4、互等定理对于线弹性体，力系1在力系2所引起的位移上所作之功，等于力系2在力系1所引起的位移上所作之功。特殊情况iFiiijjijjjFjiijFiij=FjjiiFiiijjijjiijFjjFiij=Fjjiij=ji＝Fi位移的互等定理如果两个力数值相等，则Fi在点j沿Fj方向引起的位移，等于Fj在点i沿Fi方向引起的位移.力和位移都是广义的。13.5卡氏定理设di是第i个力Fi作用点处，沿Fi方向上的位移分量，假设di与Fi是线性关系。F1如图所示，弹性材料构件上作用

5、有n个外力Fi(i=1…n).F2FiFn以确定di为目标.n个力同时作用引起的变形能可写成各力的函数d2didnd1卡氏定理以确定di为目标.如果使载荷Fi增加一微量ΔFi，相应的ΔFi作用点处沿ΔFi方向上的位移增量为Δdi，则变形能的增量为：F1F2FiFnd2d3dnd1ΔdiΔd1ΔdnΔd2忽略高阶项ΔFi卡氏定理确定di.如果把所有力Fi(i=1…n)看作是第一组力系，ΔFi看作是第二组力系，则由互等定理有So或这就是卡氏第二定理.Fi–广义力di–广义位移F1F2F3Fnd2d3dnd

6、1Δd3Δd1ΔdnΔd2注意这里的“力”是广义力，对于力矩，广义位移则是转角卡氏定理可以用来计算结构（如桁架、梁、框架、板壳等）的位移，且不受外力或外力偶数量的限制。另外可以计算任意点的位移或转角，即使该点没有外力或外力偶作用。常用公式横力弯曲扭转桁架用卡氏定理计算悬臂梁截面A的位移和转角。③计算位移②求导ALFEIxO例13-2解:①计算弯矩④计算A因为截面A处没有与A有关的力，假想的加上一个力。“-”意味着转角A方向与MA方向相反..MAALFEIxO⑦计算转角⑥对弯矩求导，然后令MA=0

7、⑤计算弯矩图示桁架在B点受力F作用，利用卡氏第二定理计算C点在垂直方向的位移。例13-3C点不受外力作用，但可以在C点假想作用一外力F’，应用卡氏第二定理，在结果表达式中令F’=0，从而求得垂直位移。解:F’求解内力:变形能dC使用卡氏第二定理实际上并没有力F’作用，令F’=0假定桁架为轻质铝桁架，E=70GPa,高度Lo=1m,管状杆截面积为250mm2.当B点受载荷F=20kN作用时，求C点的位移。由将已知量代入方程可得弹性体平衡We=Wi13.6虚功原理弹性体平衡的充分必要条件是，外力在虚位

8、移上所作总虚功，与内力在相应虚变形上所作总虚功相等。外力虚功等于内力虚变形能。虚功原理应用AΔAq(x)计算A点位移ΔA.=1F0单位力在A点沿ΔA方向加载单位力。将原有力系结构产生的实位移看作是单位力系的虚位移.ΔA13.7单位载荷法根据虚功原理有计算A点位移ΔA.AΔAq(x)=1F0单位力ΔA----莫尔积分公式莫尔积分的统一表达式.用这种方法可以计算任意点沿任意方向上的位移，该方法称为莫尔积分法、或莫尔原理、莫尔法，或单位力法、单位载荷法。--外