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1、数列极限是考察数列在n→∞这一过程中的变化总趋势(即有无极限).而对于函数y=ƒ(x),当考察它的变化总趋势时,因自变量的连续变化过程有许多情况,如x→∞,x→-∞,x→0,x→x0+,x→x0-等.§2.2函数的极限如图ooxxyy1ooxxy由以上几例可看得出,同一个函数的自变量在不同的变化过程中,相应的函数变化趋势不一样,因而有必要分情况考察.一·x→＋∞时函数ƒ(x)的极限1.直观描述：对函数ƒ(x),当x取正值无限增大时(即x→＋∞),如果ƒ(x)无限接近某常数A,则称A是函数ƒ(x)当x→＋∞时的极限.2由以上几例可看得出,同一个
2、函数的自变量在不同的变化过程中,相应的函数变化趋势不一样,因而有必要分情况考察.一·x→∞时函数ƒ(x)的极限1·直观描述：对函数ƒ(x),当x取正值无限增大时(即x→∞),如果ƒ(x)无限接近某常数A,则称A是函数ƒ(x)当x→∞时的极限.结论1.函数y=1/x,y=arctanx,y=e-x当x→∞时,以某个确定的常数为极限.而y=lnx,y=ex,y=logax却不会与常数任意接近.3注：函数y=ƒ(x)当x→∞时有极限与数列极限的不同点在于自变量一个是连续递增的,一个是取自然数递增的(是函数极限的特殊情形).2.函数(“ε—M”)定义
3、设函数ƒ(x),当x>a时有定义.对使得当x>M时,
4、ƒ(x)–A
5、<ε恒成立.则称函数ƒ(x)当x→∞时以A为极限.记则有仿数列“ε—N”定义有4及y=A+ε.则总存在区间(M,+∞),当x→∞时,以什么为极限?极限是否存在?可作两条直线y=A–ε几何意义oxyA+εAA–εM考虑y=ƒ(x)当时，对应的函数曲线介于这两条直线之间53.直观描述:对函数ƒ(x),当x取负值而绝对值无限增大时(即x→－∞),如果ƒ(x)无限接近某常数A,则称A是函数ƒ(x)当x→－∞时的极限.4.函数(“ε—M”)定义设函数ƒ(x),当x<–a时有定义.使得当
6、x<–M时,
7、ƒ(x)–A
8、<ε恒成立.则称函数ƒ(x)当x→－∞时以A为极限.则有几何意义如右图.oxyA+εA–εA–My=ƒ(x)6问题：如果既有定理1.函数y=ƒ(x)当x→∞时极限存在且为A的充要条件是函数y=ƒ(x)当x→＋∞与x→－∞时极限都存在且等于A.即5.精确定义(“ε—M”)设函数ƒ(x),当
9、x
10、>a时有定义.对使得当
11、x
12、>M时,
13、ƒ(x)–A
14、<ε恒成立.则称函数ƒ(x)当x→∞时以A为极限.记为又有是否有呢？7几何意义如右图.oxyA+εA–εAM–My=ƒ(x)例3用“ε—M”定义证明8910二.x→x0时函数
15、ƒ(x)的极限当x从大于1和小于1的方向趋于1即当x→1时,函数ƒ(x)无限接近于1,记为f(x)→1•••oxy11y=x(1,1)由前知,ƒ(x)与1的接近程度可由
16、ƒ(x)–1
17、<ε来刻划;那么x与1的接近又怎样来刻划呢？由
18、ƒ(x)–1
19、=
20、x–1
21、知,要使
22、ƒ(x)–1
23、<ε,只须
24、x–1
25、<ε即可.例4函数y=ƒ(x)=x(如右图)显然,此时可表示x与1的无限接近了,即ε可刻划x与1的接近程度.若记δ=ε>0,则有“当x→１时，f(x)→１”的精确描述:111.精确定义(“ε—δ”)函数ƒ(x),在x0的某邻域内(可去心)有定义.
26、恒有
27、ƒ(x)–A
28、<ε成立.则称函数ƒ(x)当x→x0时以A为极限.记为从而12几何意义即在该去心邻域内对应的函数曲线一步y=f(x)介于这两条直线之间,如下图.º°oxyA+εAA–εy=ƒ(x)可作两条直线y=A–ε及y=A+ε.则在x轴上总存在以x０为心,δ为半径的去心邻域13例4用“ε—δ”定义证明(关键由
29、ƒ(x)–A
30、<ε解出0<
31、x-x0
32、33、ƒ(x)–A
34、<ε即无定义,则当x≠1时,成立.即即可.故可取δ=ε/2.15注：此例中函数虽在x=1处无定义,但x→１
35、时极限却存在.这说明函数在x0点的极限是否存在与函数在x0处有无定义无关.这是因为函数在x0点的极限是函数在x0附近的变化趋势,而不是在x0处函数值.这就是在定义中为啥假设ƒ(x)可在x0处无定义的原因了.16中所讨论的x→x0即x可从x0的左右如三.函数ƒ(x)的左、右极限1.左极限的直观描述及精确定义(“ε—δ”)当x从x0左侧(小于)趋于x0时,ƒ(x)以A为极限.则A是ƒ(x)在x0处的左极限.记为“ε—δ”定义则只能考察x从0的右侧趋于0时的极限.因而必须引进左、右极限的概念.两侧趋于x0.但有时可考察x仅从x0的左侧或右侧趋近时函
36、数(特别是分段函数在分段点处)的极限.172.右极限的直观描述及精确定义(“ε—δ”)当x从x0右侧(大于)趋于x0时,ƒ(x)以A为极限.则A是ƒ(x)在x0处的
