关于同底n重幂数列的极限

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1、1001年青海师范大学学报(自然抖学版)I99l～第3期

2、ouroalo{Qi~ghalNormalUniversity(NataralScieuce)№3f／关于同底n重幂数列的极限陈朝舜(涪陵师范专科学校)摘要本文讨论击以下递推公式结由的数刊：I=a(a>0)。u。+I—at}时．文中证明．当a>e，I{u．}发散；当e‘≤a≤e·耐，{。}收敛；当O(a

3、不仅在于极限问题本身的研究，更主要的是该问题的研究结论给分析学提供了有力的研究工具。如关于数列{(1+÷JJ))的极限的研究对于指数函数，对数函数的导数公式的导出起着关键作用．我们知道，除了几个基本定理(单调有界定理等)外，在数列极限的研究中，还没有普遍适用的工具，这也就增加了数列极限研究的困难性。本文讨论如下数列的极限，定义设数列{}适合以下条件：i=4(4>0)，“ni=”(n≥1)，则称数列{“)为以4为底的同底”重幂数列。引理1以√2为底的同底的n重幂数列{}的极限存在且lim“=2n-~oo证明旨先用数学归纳法证明数列{}

4、单调上升，即对任意自然数”有“

5、科学版)l991年设，(一1—2}设，(口)一口一2，，l；0f，)一口‘1(1r一者l)J，令兮，(【)=0．一解擀Hf得=．可见，当，_(0，r)时，，()>O，圈-蚵mf呻()在区间(0．)内严格单调上o升。斟此，方程，(口)一0仨(0。f)内町能有个f褴，面显然2是万程f()=0的根，故=2，即1imun=2．÷=二=fm斗引理2设{虬}是以为底的蘸n重幕数列，若li存在，则口≤‘。+o证明设lim一2-由数列{”)的港义有÷十l一‘(“≥1)Il两边取极限，有，f一口或ft=．∞=O令，()一f则，(f)一(曼一，】nf)

6、，令f(f)一。解得f—e，又．呈一∞L=所以函数，()在e取最大值(e)=e。。若a>e‘，则方程r=R无解，即f=a无解。于是．一：呈}∞数列{u．}发散。矛盾。所以a≤c。。．土引理3设数列{)是以为憔的同底n重幂数列，若】_≤≤e‘，则数列{‰}收敛．证明显然，2dul≥一l(1=≥1)设“≥“一1，则+l=>。一篇。。1．．!一可见．数列{}单调上升。又“l一≤e

7、幂数列，00，当0<其旅证明子数列{uzk—l}单调上升且有上界即u2．1≤u。k“且u2L．t≤ta，从面Ⅳ3>u1。设k=m，结论成立。即u2．1：”>“+。净缸

8、知数列{≈z．}存在极限．记其极限为xu．第3期陈刺舜：关于同底n重幂数列的极限19同样可以证明，子数列{n：}单潮下降且有下界0，因而子数列{“：}存在极限，记其极限为Yu．推论上述授张x”a适合条^。==Ⅱu。=口。因而。：=d。。证明将等式一=ali2k-2与：“两边取极限，得。=，。=，相互代入得xⅡ=口·DY0；0由此推论，我们可将数列{“)昀收敛洼归结为下述方程，()=口矿一=0(·)的解是否唯一的问题。引理5设0(a÷，(2)若o

9、(3)若4=一，川T一1引理6没≤口<1，则方程(·)在区间(r，1)内无解。证明令，()一一，则(O)；口>O，(1)=’一1<0，r(f)=0，()=(1na)·口·。一1，，(0)=(】ha)口一1，，()=(1n士)z—l，，