基本不等式教案学生用

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1、——让学习成为一种习惯数学组（帅）基本不等式教学目标1.掌握基本不等式的推导，理解这个基本不等式的几何意义，掌握基本不等式取等的条件2.运用基本不等式求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题.3.通过对基本不等式的不同解释，渗透“转化”的数学思想，提高学生换个角度看问题的思维意识.教学重点1.用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式≥的多种解释.2.用基本不等式求函数的最大(小)值及解决一些简单的实际问题.教学难点:基本不等式≥等号成立条件的运用，及应用基本不等式解决实际问题.教学过程一.基本不等式证明及几何

2、意义例如对任意实数x，y，(x-y)2≥0总是成立的，即x2-2xy+y2≥0，所以≥xy，当且仅当x=y时，等号成立，并进一步得≥(a＞0，b＞0)，这是非常重要的一个不等式.我们常把叫作正数a、b的算术平均数，把叫作正数a、b的几何平均数，因此，基本不等式又被称为均值不等式，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.成立的条件是a、b为正实数，等号成立的条件是当且仅当a、b相等.接下来我们对基本不等式的几何意义作进一步探究.图1图2如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD

3、′，连结AD、BD.利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？例1设a，b均为正数，证明不等式:≥.下面给出这个不等式的一种几何解释.如图2，设AC=a，CB=b，CD⊥AB交⊙O上半圆于D，过C作CE⊥OD交OD于E，在Rt△OCD中，由射影定理，可知DC2=DE·OD，即DE=.由DC≥DE，得≥，当且仅当a=b时，等号成立.地址：福田区龙溪花园/翠海花园/香荔会所（高级中学正西面）电话：8293004315602316466——让学习成为一种习惯数学组（帅）例2已知x，y都是正数，求证:(1)≥2;(2)(x+y)(x2+

4、y2)(x3+y3)≥8x3y3.点评:不等式成立的条件，往往是学生容易忽视的.变式训练已知a、b、c都是正实数，求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8ab.例3若a>b>1，P=，Q=(lga+lgb)，R=lg，则()A.R0，b>0)是解决最大(小)值问题的有力工具.引例：你可以把一段16cm长

5、的细铁丝弯成形状不同的矩形，如边长为4cm的正方形;长5cm宽3cm的矩形;长6cm宽2cm的矩形……，你会发现边长为4cm的那个正方形的面积最大.在面积为16cm2的所有不同形状的矩形中，边长为4cm的那个正方形的周长最小.这表明，x，y都为正数时，下面的命题成立:(1)若x+y=s(和为定值)，则当x=y时，积xy取得最大值;(2)若xy=p(积为定值)，则当x=y时，和x+y取得最小值2.例1设x，y为正实数，且2x+5y=20，求u=lgx+lgy的最大值.地址：福田区龙溪花园/翠海花园/香荔会所（高级中学正西面）电话

6、：8293004315602316466——让学习成为一种习惯数学组（帅）点评：利用本小节命题求最大值或最小值时，应注意：“一正、二定、三相等”.变式训练设0

7、以应对4x-2进行拆(添)项“配凑”.(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方法求其最小值.但若注意到(x-a)+(b-x)为定值，则用变形不等式≥更简捷.解:点评:若x、y∈R+，x+y=s，xy=p.若p为定值，则当且仅当x=y时，s的值最小;如果s为定值，则当且仅当x=y时，p的值最大.简称“和定积最大，积定和最小”.从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用基本不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.变式训练已知在△ABC中，∠ACB=90°

8、，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是________________.例3已知y=x+(x≠0)，证明

9、y

10、≥2.分析:本例中的x可正、可负.因此需要分类讨论，创造条件，应用基本不等式.例4若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值