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1、课题：§3.4基本不等式（教案）第1课时授课类型：新授课【教学目标】1.知识与技能：学会推导并掌握慕木不等式，理解这个基本不等式的儿何意义，并掌握定理中的不等号取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3.情态与价值：通过木节的学习，体会数学來源于生活，捉高学习数学的兴趣【教学重点】丿应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式V^<—的证明过程；2【教学难点】基本不等式4ab<皿等号成立条件2【教学过程】1•课题导入基木不等式陌5凹的几何背景：2如图是在北京召开的第24界国际数学家人会
2、的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学牛从面积的关系去找相等关系或不等关系。2•讲授新课1.探究图形屮的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中冇4个全等的直介三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为Ja2+方2°这样，4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为a2+h2.由于4个直角三角形的血积和小于正方形的血枳,我们就得到了一个不等式:a2+/?2>2ab。当直角三角形变
3、为等腰直角三角形，即沪b时,正方形EFGH缩为一个点，这时有a2+b2=2ab02.得至Q结论：一般的，如果a,beR,那么亍+胪>2"（当且仅当a=b时取”=”号）［解释］结论中“当且仅当”的含义。3•思考证明:你能给出它的证明吗?证明：因为a2+b2-2ah=（a-b）2当aHb时,(a-b)2>0,当°=b时,(a-b)2=0,所以，(a-/?)2>0,即(a2+b2)>2ab.4.1）从几何图形的面积关系认识基木不等式V^<特別的，如果a>0,b>0,我们用需、丽分別代替a、b,可得a+b>2y^b,通常我们把上式写很临呼a>
4、0,b>0)必不等式的性质推导基本不等式字’你能用分析法证明十吗?分析法证明:要证只要证要证(2),只要证2a+b>a+b一>0要证(3),只要证)2>0(2)(3)(4)显然，(4)是成立的。肖且仅当沪b时，(4)中的等号成立。3)理解基本不等式临5空纟的儿何意义2探究：课本笫110页的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD・你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？2其中当且仅当点C易证RtACZRt'DCB、那么Cli=CA・CB即CD=y[ab.
5、这个圆的半径为凹，显然，它大于或等于他即凹nJ亦,22与圆心重合，即a=b时，等号成立.因此：基本不等式-几何意义是“半径不小于半弦”2评述：1.如果把竺空看作是正数日、力的等差中项，陌看作是正数冰0的等比中项，那么该定理可以叙述2为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.1.在数学中，我们称耳2为&、〃的算术平均数，称J亦为日、〃的几何平均数.基本不等式还可叙述2为：两个正数的儿何平均数不大于它们的算术平均数.2.基本不等式可推广为：n个正数的几何平均数不大于这n个数的算术平均数。即：yla[a2—S——(当且仅当a]=a2=..
6、.=a„时取“二”号)-n[例题]例1已知x、y都是正数,求证:(2)匕+刃(/+/)(/+/)^8//.分析：在运用基本不等式：字n顾寸，注意条仪「均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形.证明:y都是正数A—>0,丄>0,/>0,y>0,/>0,y>0y兀=2即-+^>2.）'兀>0x+y^2y]x3y3>0•IO+y）（/+/）（y+y）^2y[xy・2^/x2y2・2=8//即（卄y）（y+y）（/+y）28汐.r—vci—h例2己知（a+b）（x+y）>2（ay+bx）,求证：H>2a-bx-y分析：
7、运卅基本不等式时须满足a、b均为正数。证明：由条件可得，（a-b）（x-y）>0所以，二+叫2』dP=2（师仅半口=口时取“二”号）a-bx-ya-bx-ya-bx-y3•随堂练习1.已知日、b、c都是正数，求证（臼+b）（方+c）（c+曰）28abc分析：对于此类题II,选择定理：C^>4ab（吕>0,方>0）灵活变形，可求得结果.2解：・・P,b,c都是正数:.a+b^2y[ab>0b+心2嬴>0・：（自+b）（b+c）（c+自）M2y[ab•24bc・2y[ac=8abc即（臼+方）（方+c）（q+臼）8abc.4・课时小结本
8、节课，我们学习了重要不等式a+lf^2ab；两正数自、〃的算术平均数（空艺），儿何平均数（陌）2及它们的关系（临W—空）.它们成立的条件不同，前者只要求臼、方都是实数，而后者要求臼、方都是正数.2它们既是不等式变形的基木
