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《3.4基本不等式 教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、基本不等式：教学目标：理解基本不等式的意义、证明和几何意义，能够运用基本不等式解决一些应用问题。教学重点、难点：两个不等式的证明和区别，正确运用基本不等式；理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵，注意运用不等式求最大(小)值的条件.如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的；比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,有什么结论？我们把“风车”造型抽象成图.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的a长为a,b那么正方形的边长为，面积为a2+b2,4个的直角三角形的面积和小于正方形AB
2、CD的面积，于是有不等式：a2+b2≥2ab当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点时，有a2+b2=2ab；一般的，如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab当且仅当a=b时，等号成立。特别地，如果a>0,b>0,用分别代替a,b，得a+b≥2通常上式写成≤()，当且仅当时取等号，称为基本不等式。证明：作差法或分析法。要证:①即证②要证②,只要证③[来源:学.科.网]要证③,只要证(-)④2011.05.15必修五二元一次不等式(组)与简单的详细规划问题第11页共11页显然,④是成立的,当且仅当时,④的等号成立探究:(课
3、本P98)如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。发现：表示圆的半经，表示半弦长CD,得到不等关系：≤()，几何意义：半弦长不大于半径长。说明：1）我们称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2）a2＋b2≥2ab和≥成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.3）“当且仅当”的含义：当时，等号成立，其含义是：如果那么仅当时，等号成立，其含义是：如果那么综合起来：其含义
4、是：等价于4）数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项代数意义：几何平均数小于等于算术平均数例1已知ab>0，求证：，并推导出式中等号成立的条件。例2(1)已知x<0，求函数的最大值。()2011.05.15必修五二元一次不等式(组)与简单的详细规划问题第11页共11页(2)求函数的最大值，及此时x的值。练习(1)已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．(当x=6,y=4时,最小值为48).(2)已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值．(最小值为8)(3)已知x>0,y>0,且x+2y=1,求的最
5、小值．()例3(1)已知a,b,c均为，求证：。证明：均为正数，，，；(2)设为正数，证明不等式：证法（1）由知故：证法（2）由知证法（3）（几何解析数形结合）是圆的直径，，过作交圆上半圆于点，过点作交于点，在中，由射影定理知即：，由于得，当且仅当时，等号成立，结论：2011.05.15必修五二元一次不等式(组)与简单的详细规划问题第11页共11页例4(1)若，求的最大值；(2)若，求的最大值；(3)若定理：已知x,y都是正数，则①如果积②如果和例5(1)用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆
6、是多少？(2)一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：（1）设矩形菜园的长为m,宽为m,则篱笆的长为2（）m由，可得,2（）等号当且仅当，因此，这个矩形的长、宽为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m(2)设矩形菜园的长为m,宽为m,则2（）=36，=18，矩形菜园的面积为，由可得,可得等号当且仅当因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81例6
7、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m2011.05.15必修五二元一次不等式(组)与简单的详细规划问题第11页共11页。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。由容积为4800m3可得3xy=4800,因此xy=1500,由基本不等式与不等式性质，可得240000+720(x+y)≥240000+720×2即:z≥240000+720×2=29
8、7600，可得等号当且仅当所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低造价为297600元[题型一：利用均值不等式求最
