3.4基本不等式111

《3.4基本不等式111》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.4基本不等式：你有什么发现？你又有什么新发现？如果为正整数、且1.若为正整数、且2.若你有什么发现？你又有什么新发现？如果为正整数、且1.若为正整数、且2.若为正整数、且你有什么发现？你又有什么新发现？如果为正整数、且这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。新知建构问题引入:2002年国际数学家大会会标三国时期吴国的数学家赵爽新知建构思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1新知

2、建构问2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形，它们的面积总和是S’=———问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,则AB=则正方形的面积为S=。问3：观察图形S与S’有什么样的大小关系？易得，s>s’即：ADCBHGFE问4：那么它们有相等的情况吗？何时相等？变化的弦图问题4：s,S’有相等的情况吗？何时相等？图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有形的角度数的角度当a=b时a2+b2－2ab=(a－b)2=0结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当

3、且仅当a=b时，等号成立探究2问5：当a,b为任意实数时，还成立吗？此不等式称为重要不等式替换后得到：即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？一.基本不等式的推导:新知建构证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法证明不等式：特别地，若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a>

4、0,b>0二.基本不等式:你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=

5、a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式新知建构例1.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ABDC典例分析题型：基本不等式的实际应用例1.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少

6、时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x，CD=y，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.此时x=y=10.x=yABDC若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.例1.(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym2得xy≤

7、81当且仅当x=y时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；（1）如果a，b＞0，且ab＝P（定值），那么a+b有最____值______(当且仅当_____时取“=”）.（2）如果a，b＞0，且a＋b＝S（定值），那么ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）.利用基本不等式求最值问题：小大利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。a=ba=b新知建构，总结分析①各

8、项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“