2019年高考数学专题函数概念、基本初等函数及导数第4讲利用导数研究函数的单调性、极值及最值梯度训练新人教A版

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1、第4讲　利用导数研究函数的单调性、极值及最值选题明细表知识点·方法巩固提高A巩固提高B导数几何意义2,3,4,8,9,10,13,141,2,8,12,13函数极值与最值1,6,7,116,11,14,15函数单调性5,12,153,4,5,7,9,10巩固提高A一、选择题1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于(　C　)(A)11或18(B)11(C)18(D)17或18解析:因为函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,所以f(1)=10,且f′(1)=0,即解得或而当时,函数在x=1处无极值,故舍去.所以

2、f(x)=x3+4x2-11x+16,所以f(2)=18.故选C.2.直线y=x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为(　C　)(A)2(B)ln2+1(C)ln2-1(D)ln2解析:因为y=lnx的导数为y′=,所以=,解得x=2,所以切点为(2,ln2).将其代入直线y=x+b,得b=ln2-1.故选C.3.(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　D　)(A)y=-2x(B)y=-x(C)y=2x(D)y=x解析:因为函数f(x)=x3+(a-1)x2

3、+ax为奇函数,所以f(-1)+f(1)=0,所以-1+a-1-a+(1+a-1+a)=0,解得a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.4.在函数y=x3-9x的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于,且横、纵坐标都为整数的点的个数是(　A　)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:依题意得,y′=3x2-9,令0≤y′<1得3≤x2<,显然满足该不等式的整数x不存在,因此在函数y=x3-9x的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于,且横、纵坐标都为整数的点的个数是0.

4、故选A.5.(2018·全国Ⅱ卷)函数f(x)=的图象大致为(　B　)解析:因为y=ex-e-x是奇函数,y=x2是偶函数,所以f(x)=是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项.当x=1时,f(1)==e->0,排除D选项.又e>2,所以<,所以e->1,排除C选项.故选B.6.(2017·全国Ⅱ卷)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(　A　)(A)-1(B)-2e-3(C)5e-3(D)1解析:f′(x)=[x2+(a+2)x+a-1]·ex-1,则f′(-2)=[4-2(a+2)+a-1]·e-3=0得a=-1,则f(

5、x)=(x2-x-1)·ex-1,f′(x)=(x2+x-2)·ex-1,令f′(x)=0,得x=-2或x=1,当x<-2或x>1时,f′(x)>0,当-2

6、)<0,在x∈(-3,1)时,f′(x)≥0,所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,故④正确;则-3是函数y=f(x)的极小值点,故①正确;因为在(-3,1)上单调递增,所以-1不是函数y=f(x)的最小值点,故②不正确;因为函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,所以切线的斜率大于零,故③不正确.故选B.二、填空题8.已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)=3,则a的值为　　　　. 解析:f′(x)=a(lnx+x·)=a(lnx+1),因为f′(1)=3,所以f′(

7、1)=a=3.答案:39.若曲线C1:y=ax3-x2+2x与曲线C2:y=ex在x=1处的两条切线互相垂直,则实数a的值为　　　　. 解析:由y=ax3-x2+2x,得y′=3ax2-2x+2,所以y′

8、x=1=3a,由y=ex,得y′=ex,所以y′

9、x=1=e.因为曲线C1:y=ax3-x2+2x与曲线C2:y=ex在x=1处的两条切线互相垂直,所以3a·e=-1,解得a=-.答案:-10.若函数f(x)=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　. 解析:因为f(x)=x2-ax+lnx,所以f′(x)=