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《2019年高考数学专题四函数概念、基本初等函数及导数第6讲利用导数研究不等式恒成立及函数相关问题梯度训练新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第6讲 利用导数研究不等式恒成立及函数相关问题选题明细表知识点·方法巩固提高A巩固提高B利用导数研究函数1,2,6,72,3,4,6,7恒成立及存在性3,4,5,8,91,2,5,8,11函数性质109利用导数证明不等式11,1210巩固提高A一、选择题1.(2017·浙江卷)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( D )解析:观察导函数f′(x)的图象可知,f′(x)的函数值从左到右依次为小于0,大于0,小于0,大于0,所以对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减
2、、增、减、增.观察选项可知,排除A,C.如图所示,f′(x)有3个零点,从左到右依次设为x1,x2,x3,且x1,x3是极小值点,x2是极大值点,且x2>0,故选项D正确.故选D.2.直线x=t分别与函数f(x)=ex+1的图象及g(x)=2x-1的图象相交于点A和点B,则AB的最小值为( C )(A)2(B)3(C)4-2ln2(D)3-2ln2解析:由题意得,AB=
3、ex+1-(2x-1)
4、=
5、ex-2x+2
6、,令h(x)=ex-2x+2,则h′(x)=ex-2,所以h(x)在(-∞,ln2)上单调递减,在(
7、ln2,+∞)上单调递增,所以h(x)min=h(ln2)=4-2ln2>0,即AB的最小值是4-2ln2.故选C.3.已知函数f(x)=x3-2x2+3m,x∈[0,+∞),若f(x)+5≥0恒成立,则实数m的取值范围是( A )(A)[,+∞)(B)(,+∞)(C)(-∞,2](D)(-∞,2)解析:由题x3-2x2+3m+5≥0在[0,+∞)上恒成立,令g(x)=x3-2x2+3m+5,由g′(x)=x2-4x>0得x>4,由g′(x)≤0得0≤x≤4,所以g(x)min=g(4)=-32+3m+5≥0,得
8、m≥,故选A.4.已知e是自然对数的底数,若函数f(x)=ex-x+a的图象始终在x轴上方,则实数a的取值范围是( C )(A)(-∞,-1)∪(0,1)(B)(-1,0)∪(1,+∞)(C)(-1,+∞)(D)(0,1)∪(1,+∞)解析:由题ex-x+a>0恒成立,f′(x)=ex-1,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=1-0+a>0,得a>-1.5.已知函数f(x)=x+ex-a,g(x)=ln(x+2)-4ea-x,其中e为自然对数的底数,若存在
9、实数x0使f(x0)-g(x0)=3成立,则实数a的值为( A )(A)-ln2-1(B)ln2-1(C)-ln2(D)ln2解析:由题存在x0,使x0+-ln(x0+2)+4=3,即+=ln(x0+2)-x0+3,令y1=+,y2=ln(x0+2)-x0+3,y1≥4,当且仅当x0=a+ln2时等号成立,y′2=-1=-,y2=ln(x0+2)-x0+3在(-2,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,所以y2的最大值为4.所以当a+ln2=-1,即a=-ln2-1时等式成立,故选A.6.若点P是曲线y=
10、x2-2lnx上任意一点,则点P到直线y=x-的距离的最小值为( C )(A)(B)(C)(D)解析:由题意作图如图,当点P是曲线的切线中与直线y=x-平行的直线的切点时,距离最小.曲线y=x2-2lnx,令y′=3x-=1,解得x=1,故点P的坐标为(1,),故点P到直线y=x-的距离的最小值为=,故选C.二、填空题7.若x=1是函数f(x)=x3+的一个极值点,则实数a= . 解析:f′(x)=3x2-,f(1)=3-a=0,得a=3.经检验,符合题意.答案:38.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈
11、R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为 . 解析:当x=0时,a∈R,当x∈(0,1]时,a≥,令g(x)=,g′(x)==,g(x)在(0,)上单调递增,在(,1]上单调递减,g(x)max=g()==4,所以a≥4,当x∈[-1,0)时,a≤,g(x)=为增函数,所以g(x)min=4,所以a≤4.综上,a=4.答案:49.已知函数f(x)=x-,g(x)=x2-2ax+4,若对于任意x1∈[0,1],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是
12、 . 解析:f′(x)=1+>0,所以f(x)在[0,1]上为增函数,f(x1)min=f(0)=-1,g′(x)=2x-2a=2(x-a),在(a,+∞)上g(x)单调递增,在(-∞,a)上,g(x)单调递减,或或得a≥.答案:[,+∞)10.函数y=f(x)在其定义域(-,3)内可导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)≤0的
