2019_2020学年高中数学课时达标训练（十一）等比数列的性质（含解析）新人教A版必修5

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1、课时达标训练(十一)　等比数列的性质[即时达标对点练]题组1　等比数列的性质1．等比数列{an}满足an>0，n∈N*，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝(　　)A．n(2n－1)　　　　　　　B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2解析：选A　由等比数列的性质，得a3·a2n－3＝a＝22n，所以an＝2n.法一：log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝log2[(a1a2n－1)·(a2a2n－2)·…·(an－1an＋1)·an]＝log22n(2n－1)＝n(2n－

2、1)．法二：取n＝1，log2a1＝log22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B，D；取n＝2，log2a1＋log2a2＋log2a3＝log22＋log24＋log28＝6，而22＝4，排除C，选A.2．已知各项均为正数的等比数列中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　)A．5　　　　B．7　　　　C．6　　　　D．4解析：选A　由等比数列的性质知a1a2a3＝(a1a3)a2＝a＝5，a7a8a9＝(a7a9)·a8＝a＝10，所以a2a8＝50，所以a4a5a6＝(a4a6)a5＝a＝()3＝＝5.3．等比

3、数列的各项均为正数，公比为q，若q2＝4，则的值为(　　)A.B．±C．2D．±2解析：选A　由q2＝4得q＝±2，因为数列各项均为正数，所以q＝2，又因为a4＝a3q，a5＝a4q，∴a4＋a5＝a3q＋a4q＝(a3＋a4)q，∴＝＝.4．已知为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)A．7B．5C．－5D．－7解析：选D　设数列的公比为q，由得或所以或所以或所以a1＋a10＝－7.5．等比数列中，若a2，a9是方程3x2－11x＋6＝0的两根，则log2(a1a2…a10)＝________．解析：由根与系数的关系，得a2

4、a9＝2，又a2a9＝a1a10＝a3a8＝a4a7＝a5a6，所以log2(a1a2…a10)＝log225＝5.答案：56．等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．解：设该等比数列的公比为q，首项为a1，由题意得化简为因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，则①②两式相除得q(1－q)＝⇒q＝.所以a1＝＝96.若G是a5，a7的等比中项，则G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962·＝9，则G＝±3.所以a5，a7的等比中项是±3.题组2　等比数列性质的综合应用7．设是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a

5、1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝(　　)A．210B．220C．216D．215解析：选B　∵a1a2a3＝a，a4a5a6＝a，a7a8a9＝a，…，a28a29a30＝a，∴a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30＝(a2a5a8…a29)3＝230.∴a2a5a8…a29＝210.则a3a6a9…a30＝(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q)＝(a2a5a8…a29)q10＝210×210＝220.8．若1，a1，a2，4成等差数列；1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值等于(　　)A．

6、－B.C．±D.解析：选A　∵1，a1，a2，4成等差数列，∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.又∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q，则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2＞0，∴b2＝2，∴＝＝－.9．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%，则第n年初M的价值an＝________.解析：当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，故an＝120－10(n－1)＝130－1

7、0n；当n≥7时，a6，a7，…，an是首项为a6＝70，公比为的等比数列，故an＝70×n－6.综上可得an＝答案：10．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．解：由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，这三个数可表示为2－d，2，2＋d，①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4，2，8.②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8，2，

8、－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，∴d＝0(舍去)．综上可