2019_2020学年高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件课后篇巩固提升新人教A版

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1、1.4　充分条件与必要条件课后篇巩固提升基础巩固1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.答案B2.设a,b∈R,则“a>b”是“a2>b2”的(　　)A.充分必要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件解析若a=1,b=-4,满足a>b,此时a2>b2不成立;若a2>b2,如a=-

2、4,b=1,此时a>b不成立.答案B3.x+y>5,xy>6是x>2,y>3的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析显然x>2,y>3⇒x+y>5,xy>6;当x=1,y=7时,满足x+y>5,xy>6,但不能满足x>2,y>3,故为必要不充分条件.答案B4.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的(　　)条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要解析当“a=2”时,显然“A∩B={4}”;但当“A∩B={4}”时,a可以为-2,故不能推出“a=2”.答案A5.已知p:a≠0,q:ab≠

3、0,则p是q的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析a≠0,不一定有ab≠0,如b=0时;但是ab≠0则一定需a≠0.答案B6.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?(2)p是q的什么条件?解(1)∵q⇒s,s⇒r⇒q,∴s是q的充分也是必要条件.(2)∵q⇒s⇒r⇒p,∴p是q的必要条件.7.设x,y∈R,求证:

4、x+y

5、=

6、x

7、+

8、y

9、成立的充要条件是xy≥0.证明充分性:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0.于是

10、x+y

11、=

12、x

13、+

14、y

15、.如果xy>

16、0,即x>0,y>0或x<0,y<0,当x>0,y>0时,

17、x+y

18、=x+y=

19、x

20、+

21、y

22、,当x<0,y<0时,

23、x+y

24、=-x-y=(-x)+(-y)=

25、x

26、+

27、y

28、,总之,当xy≥0时,

29、x+y

30、=

31、x

32、+

33、y

34、.必要性:由

35、x+y

36、=

37、x

38、+

39、y

40、及x,y∈R,得(x+y)2=(

41、x

42、+

43、y

44、)2,即x2+2xy+y2=x2+2

45、xy

46、+y2,得

47、xy

48、=xy,所以xy≥0,故必要性成立.综上,原命题成立.能力提升1.已知条件p:x>1,条件q:1x≤1,则p是q的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由1x≤1,得1x-1≤0,1-xx

49、≤0,即x≥1或x<0.所以由p能推出q,反之不成立.故p是q的充分不必要条件.答案A2.已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.证明必要性:因为a+b=1,所以a+b-1=0.所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0,所以a≠0且b≠0.因为a2-ab+b2=a-b22+34b2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1.综上可得,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b

50、3+ab-a2-b2=0.