代数表示论在Hopf代数中的应用

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1、浙江大学理学院博士学位论文代数表示论在Hopf代数中的应用姓名：程东明申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：李方20070601摘要本文用结合代数表示论的方法研究Hopf代数和弱Hopf／f℃数的结构与表示。我们首先把Artin环(Artin代数)看作自身的左正则模，证明了在它的直和分解式中的不可分解投射模P的重数等于相应的单模S作为某个除环上的向量空间的维数．其次，为了用结合代数表示论的方法研究弱Hopf代数，我们研究弱Hopf代数的代数结构。我们以t￡Is岛(2)和口sk(2)为例，研究弱Hop玳数的代数结构。我们证明了弱Hopf代数wsl。(2)作为代数

2、是％(sf2)和二元多项式代数的直和。从而将脚8k(2)的表示归结为％(sk)和二元多项式代数的表示。而氓(st2)和二元多项式代数的表示已被广泛研究。证明了叫80(2)的余代数结构是不可分解。证明了弱Hopf代数"sk(2)作为代数是％(sf2)和平凡代数惫的直和。还证明TwsZ。(2)作为余代数是可分解，并绘出它的分解。为了研究wsl4(2)和usz。(2)的余表示，我们给出"吼(2)和t，sk(2)的余代数的Ext-箭图。然后我们全面考察了对应予以(sty)的所有可能的弱Hop玳数。发现总共有'个不同构的对应于％(sz2)的弱Hop辟℃数。我们还讨论对应于％

3、(st。)的弱Hop玳数的直和分解。我们考虑点Hopf代数在代数和余代数上的作用。对于点Hop斜弋数的特例，群Hopf／f弋数的作用与群的作用是等价的。我们特别考虑群和群代数在路代数上的分次作用。并给出计算实例。结构常数是用来刻画结合代数的重要方法。我们发现余代数和Hopf代数的结构常数类似于代数的结构常数。我们引进高维矩阵用来描述余代数和Hopf代数的结构常数。我们确定了预余代数成为余代数和Hop玳数的条件，并用高维矩阵来刻画。关键词：Artin代数，Hop矸弋数，弱Hopf'f℃数，表示，余表示AbstractInthispaperwestudyHopfalg

4、ebra坶usingrepresentationtheoryofaSSO-dativealgebrasinseveralways．LetAbeallartinring．LetPbeallindecomposableprojectiveleftA-module．If觎viewAasaleftA-module．thenthemultiplicityofPinthedirectBnnldecompositionofAequalstothedimensionofcorrespondingsimplemoduleS铀avectorspaceoveradivisionring

5、．Asanexampleofapplicationofourmainresult，wesimplifyaproofofdecompositionofrestrictedquantumgroupof％(奶)．ThestructureofweakHopfalgebrawsl口(2)isstudiedinthispaperinordertogiveacompletedescriptionofrepresentationofwsl口(2)．Thealgebrastruc-tureofwslq(2)isdecomposedintoadirects眦of％(s12)andth

6、ealgebraofpolynomialsoftwoindeterminates．Thecoalgebrastructureofwsl口(2)isprovedtobeindecomposable．AnotherweakHopfalgebravsl口(2)isdecomposedintoadirectsnmof％(s12)andthetrivialalgebra知．ThenwestudyallpossibleweakHopfalgebrascorrespondingto％(sf2)．Thereafe甲possiblenonisomor-phicweakHopfalg

7、ebrascorrespondingto乩(st2)．WealsogivethedirectsulndecompositionofweakHopfalgebrascorrespondingto砺(stn)，WestudytheactionsofHopfalgebrasonalgebrasandcoalgebras．A8aspecialca卵ofpointedHopfalgebras．theactionsofgroupHopfalgebrasareequivalenttothatofgroups．Weconsidergradedactionsofgroupsonpa

8、thalg