RltNgt上一类带限制的椭圆特征问题

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1、福建师范大学硕士学位论R〈'N＞上一类带限制的椭圆特征问题姓名：刘竞坤中请学位级别：硕士应用数学指导教师：陈建清20090401中文摘耍中文摘要这篇硕士论文主要研究了一类带限制的椭圆特征问題,—Au4-V(z)u=A/(x,u),x€R”,

2、2+Vdx=r2,u(z)0,x—►4-oo.解的存在性问题，主要运用了变分方法的基本方法，如极值原理，山路引理，伪梯度流，、约束极值方法等.在绪论中我们回顾本文所讨论问题的背景.在第一章中，弁绍Sobolev空问的一些基本知识，基本引理以及一些记号说明.在第二章中

3、，利用极值原理和山路引理证明R"上带限制的椭圆特征问题(S)三个解的存在性.•在第三章中，通过伪梯度流得到Rn上带限制的椭圆特征问题(S)的变号解和多解.第四章在第三章的基础上，运用伪梯度流和约束极值方法进一步讨论RN上带限制的椭圆特征问题(S)变号解的存在性.第五章总结了这篇硕士论文主要结论.关键词：带限制的椭圆特征问题，山路引理，伪梯度流，约束极值方法，变号解，多解.中文文摘这篇硕士论文主要研究了一类带限制的椭圆特征问题,+V^v^jdx=r2,xT+8.-Aw4-V(x)u=A/(x,u),xe只

4、化ueHRN)}(S)解的存在性问题.解的存在性问题有很多种研究方法，如不动点方法，拓扑度方法等等.而我们主要是采用变分方法，所谓变分方法就是把求方程的解归结为求相应的泛函在一定条件下的极值问题或临界点问题.而变分法的主要目的是要找出被这些原理所约束的解，从费尔耳开始，就有找出一个给定泛函的极小点的论题.在绪论中我们回顾本文所讨论问题的背景.在第一章中，介绍Sobolev空问的一些基本知识，基本引理以及一些记号说明.年第二章中，假设V(x)满足下列条件，(⑷VeC{RNyR)满足，a=infV{x)>0;

5、x€Rn(%)>0,有m({x6Rn:V(x)

6、u

7、)关于xERN-致成立}(A)

8、/(x,u)

9、

10、u

11、,,(x,u)ERNxR,这里aba2€若N23,则1VsV羁；若N=1或2,则1VsV8；(A)/(x,t)t>0且对任意d>0,在尺“x(-<5,0)和Rnx(0,6)都有/(x,t)t/0.利用极值原理和山路引理得到如下定理，定理11.1设卩满足(Vi),(%

12、),且/满足(/1),(/2),(/3),则(S)对每个20至少有三个解.其中T为正解，一个为负解.在第三章中，对V(x)和/(x,u)做如下假设，(刨f:RNxR^R是局部Lipschitz连续的，即存在乙>0使得1/(场S)一J(%仿)

13、<乙血一"I爼GRNti,12WR.成立.(人2)VeL^(RN)ta:=infV(x)>0.xeRN(X3)当"t0时，/(x,u)=o(

14、u

15、)关于xeRn一致成立$・(儿)存在常数c>0和pG(2,2・)使得

16、/(x,i)

17、

18、t

19、p-x)xeRNtte

20、n,“5)存在°>2使得00,^xeRNtte(-J,o)u(0,6)时，都有>o.(A7)以下两个条件之一成立，(人“)对任意M>0,有m({a;€A”：V(z)0,有limsup(力7.2)对任意的r>0,有limsup气評=0・

21、x

22、-»+oo^

23、如下结论，定理3.1.1假设(711)-(717)成立.则问题(S)至少有三个解仏ku_,i,其中当it4-oo时，為0,且f(xtOi)=0.当it4-oo时，®t0,且f(xtbi)=0.列为正解，n_为负解，而u为变号解.定理3.1.2假设(儿)-(Z8)成立.则问题(S)至少有一个负解，无穷多个正解和无穷多个变号解.定理3.1.3假设(A)-(4)成立・则问题(S)至少有一个解正解，无穷多个负解和无穷多个变号解.第四章以第三章为基础，利用约束极值的思想证明定理3.1.1.第五章总结了这篇硕士论文主要

24、结论.AbstractInthisthesis,byusingsomeapproachesinvariationalmethods,suchasminimaxprincipleandmoutain-passlemma,pesudo-gradientflow,constrainedminimizationmethod,westudytheexistenceofsohitionsforanellipticeige